Ορθογώνιο τραπέζιο.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 83.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

Ψάχνω το μήκος του τμήματος

.

KARKAR · #2

: x.png (8.21 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #3

Δεν καταλαβαίνω τίποτα από την λύση του KARKAR

.

KARKAR · #4

Οι τρεις γωνίες στο

έχουν άθροισμα 180^0

. Αλλά : $\tan a\cdot\tan b\cdot tan c=\tan a+\tan b+tan c$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm
83.png

Ψάχνω το μήκος του τμήματος .

Είναι $\phi + \theta =45^0$ κι από τον τύπο $tan( \theta + \phi )=1$ με $tan \theta = \dfrac{2}{3} ,tan \phi = \dfrac{x}{15}$ παίρνουμε x=3

: Ορθογώνιο τραπέζιο.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλησπέρα!
Λίγο διαφορετικά: $\dfrac{x/15+2/3}{1-2x/45}=1\Leftrightarrow x=3$ Η εξήγηση θ΄ακολουθήσει...

Όπως βλέπω , με πρόλαβε ο αγαπητός Μιχάλης!

Ιστοσελίδα · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm

Ψάχνω το μήκος του τμήματος .

Καλησπέρα!

: shape.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

$\triangleleft AEB \sim \triangleleft DZC \sim \triangleleft KZE$

$5k = 5\sqrt {13} \Leftrightarrow k = \sqrt {13}$

$\dfrac{{15(x + 10)}}{2}\mathop = \limits^{(CEZ)} \dfrac{{3k \cdot 5k}}{2} \Leftrightarrow 15(x + 10) = 15 \cdot 13 \Leftrightarrow x = 3$

#8

: Ορθογώνιο ττραπέζιο_Φάνης.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

$\vartriangle AEB \approx \vartriangle FTB \Rightarrow TF = 6$ , $\boxed{\tan \theta = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}}$ ,

$\tan \omega = \tan \left( {45^\circ - \theta } \right) = \dfrac{{\tan 45^\circ - \tan \theta }}{{1 + \tan 45^\circ \cdot \tan \theta }} = \dfrac{1}{5}$ και άρα $\boxed{x = 3}$

Πάγια αρχή μου δεν βλέπω τις λύσεις εκτός κι αν δεν μπορώ να τη λύσω. Εδώ πάντως άπαντες είχαμε, επί της ουσίας, την ίδια σκέψη!

Μου άρεσαν όλες οι λύσεις εκτός ίσως της δικής μου

#9

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm
83.png

Ψάχνω το μήκος του τμήματος .

: Ορθογώνιο τραπέζιο.Φ.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Φέρνω $EZ\bot EB.$ Προφανώς, $\displaystyle D\widehat EZ = A\widehat BE = \theta$ και $\displaystyle \tan \theta = \frac{2}{3}.$

$\displaystyle \frac{{15}}{x} = \tan (45^\circ + \theta ) = \frac{{1 + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

Φανης Θεοφανιδης · #10

Μια χαρά είναι η λύση σου Νίκο.
Κοίτα τι γίνεται παρακάτω.

: 83.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές

Από το Π.Θ. στο $\triangle EAB$ έχω $EB=\sqrt{52}$ .
Από το Π.Θ. στο $\triangle EBM$ έχω επίσης $EM=BM=\sqrt{26}$ .
Ο Πτολεμαίος στο εγγράψιμο ABME

μου δίνει $AM=5\sqrt{2}$ .
Από το Π.Θ. στο $\triangle ANM$ παίρνω AN=NM=5

.
Οπότε

.
Αλλά $\triangle EMN\sim \triangle ECD\Rightarrow \dfrac{EN}{ED}=\dfrac{NM}{DC}\Rightarrow x=3$ .

Γιώργος Μήτσιος · #11

Καλό βράδυ σε όλους!
Μιας και που ...tan... αναφέραμε πολλές, τις περισσότερες ..

..ο KARKAR (Θανάση πολύχρονος!)
ας δουμε μια ακόμη χωρίς εφαπτομένη.

Στο αρχικό σχήμα του Φάνη είναι $BE=2\sqrt{13}$ και $CE=\sqrt{225+x^{2}}$ .

Έχουμε $\left ( ABCD \right )=\left ( ABE \right )+\left ( BEC \right )+\left ( DEC \right )$

και για x>0

παίρνουμε: $21\left ( x+4 \right )=24+15x+\sqrt{13}\cdot \sqrt{225+x^{2}}\cdot \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{26\left ( 225+x^{2} \right )}=6x+60$

$\Leftrightarrow...$ $\Leftrightarrow \left ( x+75 \right )\left ( x-3 \right )=0$ Άρα x=3

.

Φιλικά, Γιώργος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #12

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm
83.png

Ψάχνω το μήκος του τμήματος .

Θεωρούμε το ορθογώνιο-ισοσκελές τρίγωνο BEZ

που ο περίκυκλός του τέμνει την

στο

και την

στο

Όλες οι 45-άρες προκύπτουν εύκολα,οπότε AH=AE=4

κι επειδή $HE//BN\Rightarrow NE=HB=2$ .

Ακόμη, $ZN \bot AD \Rightarrow ZN//CD$

Από Πτολεμαίο στο EBZN

με $EB=BZ=2 \sqrt{13} ,EZ=2 \sqrt{26} ,BN=6 \sqrt{2} ,EN=2$ βρίσκουμε NZ=10

και $\dfrac{2}{ED}= \dfrac{10}{15} \Rightarrow ED=x=3$

: orth.trap.png (35.21 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

Ιστοσελίδα · #13

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm

Ψάχνω το μήκος του τμήματος .

: shape2.png (20.67 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

$CK \bot BE,\,N \equiv KE \cap CD$

$\triangleleft EAB \sim \triangleleft EDN \sim \triangleleft CKN$

$\triangleleft EDN:{y^2} = 13{x^2}$

$NE \cdot NK = ND \cdot NC \Leftrightarrow y \cdot 3y = 3x(3x + 15) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 39{x^2} = 9{x^2} + 45x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$ , οπότε DE = 2x = 3

#14

: Ορθογώνιο τραπέζιο_Φάνης_oritzin_1.png (29.29 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου

και έστω

το άλλο κοινό σημείο του με την

.

Ας είναι $H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ οι προβολές του

στις ευθείες $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA$ .

Επειδή $\widehat {ZEC} = \widehat {ZDC} = 45^\circ$ το τρίγωνο HZD

είναι ισοσκελές ορθογώνιο και το τετράπλευρο DHZT

είναι τετράγωνο .

Αφού τώρα $\widehat {BEA} = \widehat {ZCD}$ ( εξωτερική εγγεγραμμένου) και άρα $\vartriangle AEB \approx \vartriangle HCZ \approx \vartriangle TEZ$ .

Αβίαστα τώρα προκύπτουν : $HC = 6\,\,,\,\,HZ = 9\,\,,\,\,TA = 2 \Rightarrow \boxed{x = 3}$

Τα "μεγάλα πνεύματα" συναντήθηκαν, πάλι, για να δώσουν λύση χωρίς τριγωνομετρία!

Ορθογώνιο τραπέζιο.

Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Μέλη σε σύνδεση