Σελίδα 1 από 2

Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 13, 2021 7:47 pm
από Mihalis_Lambrou
Όπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεία της διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της, και αντίστροφα.

Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.

Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.

Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 12:30 am
από Manolis Petrakis
20210114_002243.jpg
20210114_002243.jpg (30.59 KiB) Προβλήθηκε 1029 φορές
Καλημέρα!
Φέρνουμε τις διχοτόμους των A,B που τέμνονται στο I.
Έτσι \angle IAB=\angle IAC=\theta και \angle IBA=\angle IBC=\phi
Τώρα διαδοχικά με νόμο ημιτόνων στα CIB,BIA,AIC παίρνουμε:
CI \sin \widehat{ICB}=BI \sin \phi=AI \sin \theta=CI \sin \widehat{ICA}
\Rightarrow \sin \widehat{ICB}=\sin \widehat{ICA} \Leftrightarrow \widehat{ICB}=\widehat{ICA} και οι διχοτόμοι συντρέχουν στο I

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 10:52 am
από george visvikis
Μιχάλη, δεν ξέρω αν σου κάνει.
Έγκεντρο.png
Έγκεντρο.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές
Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας A που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο P. Ο κύκλος (P, PB) διέρχεται

από το C και τέμνει την AP στο I. Είναι, \displaystyle P\widehat BI = P\widehat IB \Leftrightarrow P\widehat BC + \varphi  = \frac{{\widehat A}}{2} + \omega  \Leftrightarrow \boxed{\varphi  = \omega}

Ομοίως και η διχοτόμος της \widehat C διέρχεται από το I.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 12:07 pm
από Mihalis_Lambrou
george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιαν 14, 2021 10:52 am
Μιχάλη, δεν ξέρω αν σου κάνει.
Βεβαίως μου κάνουν, και οι δύο παραπάνω μέθοδοι. Μου είναι άλλωστε καινούργιες. Δεν τις γνώριζα.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 10:35 pm
από Mihalis_Lambrou
Φέρνουμε τις διχοτόμους από τα A,\,B και έστω ότι τέμνονται στο I. Από το θεώρημα των διχοτόμων δύο φορές είναι

\displaystyle{\dfrac {AI}{ID}= \dfrac {AB}{BD} = \dfrac {AC}{CD}}. Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος των διχοτόμων στο τρίγωνο ADC, το I είναι στην διχοτόμο της C. Τελειώσαμε.

Η παλαιότερη πηγή στην οποία έχω δει την κομψή αυτή απόδειξη είναι το βιβλίο ARNAULD, Nouveaux Εléments de Géometrie (1667). Επίσης υπάρχει παραλλαγή της στο Todhunter, Elements of Geometry (1864).

Αργά ή γρήγορα θα αναρτήσω και άλλες κομψές αποδείξεις του Θεωρήματος, συμπεριλαμβανομένης και της ξεχασμένης του Αρχιμήδη.

Και ο ίδιος είχα κατασκευάσει διάφορες αποδείξεις, αλλά αργά ή γρήγορα τις είδα σχεδόν όλες, τις ίδιες ή παραλλαγές τους, στα παλιά βιβλία. Μία τέτοια είναι η παραπάνω. Παραλλαγή της είναι να φέρουμε την διχοτόμο AD και να βρούμε συναρτήσει των πλευρών το μήκος του AI, όπου I το σημείο που την τέμνει η διχοτόμος της B (απλό). Κατόπιν να κάνουμε το ίδιο για την διχοτόμο από το C βρίσκοντας το αντίτοιχο AI'. Θα παρατηρήσουμε (έχουμε συμμετρία) ότι AI=AI', και λοιπά.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 1:22 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 13, 2021 7:47 pm
Όπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεία της διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της, και αντίστροφα.

Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.

Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.

Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.

I είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B,C και IK//AB ,IL//AC.

Η AI τέμνει την BC στο M και ισχύει  \dfrac{KM}{KI}= \dfrac{KM}{KB}=  \dfrac{ MI}{IA}= \dfrac{ML}{LC}= \dfrac{ML}{LI}

Άρα IM διχοτόμος της  \angle KIL  άρα και της γωνίας A
Σύγκλιση διχοτόμων.png
Σύγκλιση διχοτόμων.png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 1:29 am
από Mihalis_Lambrou
Ενδιαφέρον. Μου είναι άγνωστη.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 10:09 am
από george visvikis
Έστω ότι οι διχοτόμοι των \widehat B, \widehat C τέμνονται στο I και DIE||BC.
Έγκεντρο.β.png
Έγκεντρο.β.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές
\displaystyle \frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{BD}}{{EC}} = \frac{{DI}}{{IE}} που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 11:31 am
από nickchalkida
Στο ίδιο πνεύμα με αυτό της προηγούμενης απάντησης από τον Μιχάλη. Την καταγράφω για τον κόπο και την ελάχιστη διαφορετικότητα.
Οι διχοτόμοι BE, CD τέμνονται στο K, και είναι GH \parallel BE και HF \parallel DC. Είναι τότε

\displaystyle{ 
{AB \over BH} = {AB \over BG} = {AK \over KH} = {AC \over CF} = {AC \over CH} 
}

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 12:46 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 13, 2021 7:47 pm
Όπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεία της διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της, και αντίστροφα.

Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.

Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.

Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.

Έτω I το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B,C

Θεωρούμε τους κύκλους (A,I,B),(A,I,C) που τέμνονται αντίστοιχα από τις CI,BI στα E,Z

Όλες οι σημειωμένες πράσινες γωνίες είναι ίσες με  \dfrac{B+C}{2} άρα E,A,Z συνευθειακά

Όμως λόγω ισότητας των γωνιών  \theta , το BEZC είναι εγγράψιμμο,άρα     \omega = \phi
Σύγκλιση διχοτόμων τριγώνου.png
Σύγκλιση διχοτόμων τριγώνου.png (21.85 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 2:54 pm
από ksofsa
Καλησπέρα!

Δίνω μια ακόμη προσέγγιση:

Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC και K,M,N τα σημεία τομής των διχοτόμων CD, AE, BZ
με τον περιγεγραμμένο κύκλο.

Οι ευθείες CK, MN τέμνονται κάθετα , αφού η γωνία που σχηματίζουν ισούται με \angle KAM+\angle NBC=\dfrac{A+B+C}{2}=90^{\circ}.

Όμοια , οι AM, KN τέμνονται κάθετα και οι BN, KM τέμνονται κάθετα. Άρα , οι AM, BN, CK ύψη του τριγώνου KMN και συντρέχουν, δηλαδή οι διχοτόμοι του τριγώνου ABC συντρέχουν.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 7:27 pm
από KARKAR
Διχοτόμοι.png
Διχοτόμοι.png (27.1 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές
Τα σημεία Z , E είναι τα μέσα των τόξων \overset{\frown}{AB} , \overset{\frown}{AC} του περικύκλου . Το τετράπλευρο AZIE

είναι χαρταετός ( AI \perp ZE ) , ενώ το τρίγωνο ALN είναι ισοσκελές , άρα : AI διχοτόμος .

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 15, 2021 11:37 pm
από Doloros
Έστω I το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.
Φέρνω από το I τις παράλληλες προς τις πλευρές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC και τέμνουν

στα K\,,\,M την BC και στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC.

Θέτω: AL = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AN = y, IK = KB = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,IM = MC = m
Για διχοτόμους_Αρχιμήδης.png
Για διχοτόμους_Αρχιμήδης.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές
Ισχύουν ταυτόχρονα: \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AL}}{{AB}} = \frac{{CM}}{{CB}} \hfill \\ 
  \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{KB}}{{BC}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{c} = \frac{m}{a} \hfill \\ 
  \frac{y}{b} = \frac{k}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{xb}}{{yc}} = \dfrac{m}{k} = \dfrac{b}{c} \Rightarrow \boxed{x = y}

Αρα το τετράπλευρο ALIN είναι ρόμβος , οπότε η AI είναι η τρίτη διχοτόμος .

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 16, 2021 1:29 am
από Mihalis_Lambrou
Παραλλαγή αυτής του Μιχάλη στο ποστ 10.

Φέρνουμε τους κύκλους που βλέπουν τοσ AB, AC υπό γωνίες 90+C/2,\, 90+B/2, αντίστοιχα, και έστω ότι τέμνονται στο I. Τότε \angle BIC = 360-(90+B/2+90+C/2)=  90+A/2. Γράφουμε λοιπόν και τον κύκλο που βλέπει την BC υπό γωνία  90+A/2 ο οποίος, επίσης, διέρχεται από το I. Οι τρεις συγκλίνοντες αυτοί κύκλοι φαίνονται στο σχήμα. Προεκτείνουμε τις AI, BI, CI μέχρι να τους τμήσουν στα G,H,K αντίστoιχα. Από διάφορα εγγράψιμμα τετράπλευρα έχουμε

\displaystyle{\angle KAB= \angle KIB= \angle BGC = \angle CIH = \angle CAH} και εκάστη ίση με \angle BGC= 180-(90+A/2)= 90-A/2. Άρα τα K,A,C είναι συνευθειακά (οι γωνίες στο A έχουν άθροισμα 180). Ομοίως τα K,B,G και G,C,H. Άρα KBCH εγγράψιμμο αφού \angle AKB=\angle BIC=\angle BCG. Οπότε

\angle IAB= \angle CKB = \angle BHC = \angle IAC, δηλαδή η AI διχοτομεί την A. Kαι λοιπά.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 16, 2021 10:57 am
από ksofsa
Καλημέρα!

Άλλη μια προσέγγιση:

Αρχικά, θεωρώ την περίπτωση AB\neq AC.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι AB< AC. Θεωρώ σημείο K στην AC, ώστε AB=AK.

Τότε \angle BKC=90^{\circ}+\dfrac{A}{2}.

Έστω I το σημείο τομής των διχοτόμων των B,C. Τότε \angle BIC=\angle BKC=90^{\circ}+\dfrac{A}{2} και το BIKC εγγράψιμο.

Άρα, \angle IBK=\angle IKB=\dfrac{C}{2} και άρα IB=IK.

Συνεπώς, η AI μεσοκάθετος του BK και άρα διχοτόμος της γωνίας A στο ισοσκελές ABK.

Συμπεραίνουμε ότι οι διχοτόμοι του τριγώνου ABC συντρέχουν στο I.

Για την περίπτωση AB=AC, παρατηρούμε ότι το I ανήκει στη μεσοκάθετο του BC και άρα η AI μεσοκάθετος του BC και διχοτόμος της γωνίας A.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 16, 2021 6:56 pm
από george visvikis
Έγκεντρο.γ.png
Έγκεντρο.γ.png (14.39 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές
Οι διχοτόμοι των γωνιών \widehat B, \widehat C τριγώνου ABC τέμνονται στο I. Στα σημεία B, C φέρνω κάθετες στις BI, CI που

τέμνονται στο K και τέμνουν τις CI, BI στα M, L αντίστοιχα. Αν η KI τέμνει την LM στο P, τότε προφανώς το

PBC είναι το ορθικό τρίγωνο του KLM, άρα η PI διχοτομεί την B\widehat PC. Αλλά, η BI διχοτομεί την P\widehat BC (όπως

και την A\widehat BC εξ υποθέσεως), οπότε το A είναι σημείο της ευθείας BP. Ομοίως βρίσκω ότι το A ανήκει και στην ευθεία

CP. Επομένως \displaystyle P \equiv A, δηλαδή η AI διχοτομεί την B\widehat AC.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 16, 2021 7:35 pm
από Mihalis_Lambrou
[quote="george visvikis" post_id=334674 time=1610816177 user_id=10857]

...PBC είναι το ορθικό τρίγωνο του KLM ...
[/quote]

Γιώργο, πολύ όμορφο και μου είναι νέο.

Ξέρω και μία άλλη ωραία απόδειξη με χρήση του ορθικού, την οποία αφήνω μήπως την βρει άλλος. Θα την γράψω αν χρειαστεί, γιατί είναι κομψή.

Για την ώρα σημειώνω ότι ο συνηθισμένος τρόπος είναι από την σύγκλιση των διχοτόμων να καταλήξουμε στην σύγκλιση των υψών (που είναι δυσκολότερο) αλλά μπορούμε και το ανάποδο, όπως εδώ και στο ποστ 11 του Κώστα (kosfsa) παραπάνω.

Η μέθοδος του Κώστα και η ανάποδη (από διχοτόμους στα ύψη με χρήση του περιγεγραμμένου κύκλου) μου ήταν γνώριμες τεχνικές. Το ίδιο και μία απόδειξη με το ορθικό ή ανάποδα. 'Ομως έχω και για τα δύο μία απρόσμενη τεχνική, που θα την καταγράψω εδώ αργά ή γρήγορα. Και τα δύο αυτά ζεύγη αποδείξεων τα είχα καταγράψει σε διάφορα σημεία ή σε ομιλίες μου για το ορθόκεντρο.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 17, 2021 12:02 pm
από Mihalis_Lambrou
Συνεχίζω το αμέσως προηγούμενο ποστ μου. Προς το τέλος του β' μέρους έχω την απρόσμενη τεχνική που αναφέρθηκα.

α) Το αριστερό σχήμα δείχνει την τεχνική του Κώστα (ksofsa). Προσοχή, δεν σχεδίασα τις διχοτόμους να συγκλίνουν αφού είναι το αποδεικτέο αλλά και για να φανεί καθαρά ότι δεν το χρησιμοποιώ στον συλλογισμό. Τα βήματα υπάρχουν στον Κώστα, όπου δείχνει ότι οι διχοτόμοι είναι ύψη κάποιου άλλου τριγώνου, του κόκκινου, άρα συγκλίνουν.

Δεν έχω εντοπίσει την πιο παλιά αναφορά αυτής της απόδειξης αλλά την έχω δει σε ξένες Γεωμετρίες του 1900. Δεν το έχω ψάξει εξονυχιστικά. Συνήθως πάει ανάποδα, να δείξουμε δηλαδή ότι τα ύψη συγκλίνουν από την σύγκλιση των διχοτόμων.

β) Υπάρχει μία ωραία παραλλαγή, πάλι με χρήση των υψών.

Ξεκινώ με ένα τυχαίο τρίγωνο ABC (βλέπε το δεξιό σχήμα) και φέρνω τα ύψη του, τα οποία ξέρω ότι συγκλίνουν, οπότε έχω δικαίωμα να τα ζωγραφίσω όπως ακριβώς έκανα. Κοιτάμε τώρα το τρίγωνο PQR, και θα δειξουμε ότι τα ύψη του αρχικού είναι διχοτόμοι του. Πράγματι

Q_1=C_1=90-B=A_1=Q_2, όπως θέλαμε. Όμοια οι υπόλοιπες.

Με άλλα λόγια δείξαμε ότι οι διχοτόμοι του PQR συγκλίνουν. Τελειώσαμε άραγε; Όχι βέβαια, γιατί δείξαμε ότι οι διχοτόμοι των τριγώνων του τύπου, όπως το PQR, που προκύπτουν από την εν λόγω διαδικασία, έχουν συγκλίνουσες διχοτόμους. Είναι όμως όλα; Ευτυχώς η απάντηση είναι ναι.

Εδώ είναι η απρόσμενη τεχνική που αναφέρθηκα:

Από την απόδειξη ξέρουμε ότι Q=2C_1=2(90-B)=180-2B, και όμοια P= 180-2A, \, R=180-2C. Αν λοιπόν μας δώσουν ένα τρίγωνο PQR με γωνίες δοθείσες, επιλέγουμε A =90-P/2, \, B=90- Q/2,\, R=90-R/2 οπότε πρώτον A+B+C= 270-(P+Q+R)/2=180, δηλαδή οι A,B,C είναι γωνίες τριγώνου. Δεύτερον, αν κάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο συγκεκριμένο τρίγωνο ABC, το PQR που προκύπτει έχει γωνίες P'= 180-2A=180-2(90-P/2)=P και όμοια οι υπόλοιπες. Δηλαδή, η παραπάνω διαδικασία μας οδηγεί στο δικό μας, δοσμένο PQR. ό.έ.δ.

Σχόλιο: Υπάρχει αντίστοιχη (διπλή) διαδικασία από τα ύψη στις διχοτόμους του ορθικού και πίσω. Θα την γράψω εν ευθέτω χρόνω.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 20, 2021 5:44 pm
από Mihalis_Lambrou
Συνέχεια.

Με χρήση του ορθικού τριγώνου με δεδομένο ότι τα ύψη συγκλίνουν, Συνήθως πάμε ανάποδα αλλά με τίμημα να πρέπει να αποδείξουμε (χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την σύγκλισή τους) ότι τα ύψη είναι διχοτόμοι του ορθικού. Αλλά αυτό είναι εύκολο από εγγράψιμμα τετράπλευρα όπου το πρώτο βήμα είναι να αποδείξουμε ότι οι κόκκινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες.

Πίσω στο θέμα μας. Αφού, ως γνωστόν, τα ύψη συγκίνουν και είναι διχοτόμοι του ορθικού σημαίνει ότι οι διχοτόμοι κάθε τριγώνου το οποίο προκύπτει ως ορθικό κάποιου άλλου, έχουν την ζητούμενη ιδιότητα. Είναι άραγε όλα τα τρίγωνα τέτοια; Ευτυχώς, ναι.

Πράγματι το D EF έχει γωνίες D=180-2A, \,(*) και λοιπά. Αν λοιπόν μας δώσουν ένα τρίγωνο με γωνίες [unparseable or potentially dangerous latex formula], επιλέγουμε A= \frac {1}{2}(180-D) και λοιπά. Tότε A+B+C = \frac {1}{2}(180-D)+ \frac {1}{2}(180-E)+\frac {1}{2}(180-F) = 270-\frac {1}{2}(D+E+F)=180, δηλαδή είναι γωνίες τριγώνου και λόγω των (*) έχει ως ορθικό το D EF.

Θα συνεχίσω και με άλλες ωραίες αποδείξεις, πρώτα απ' όλα του Αρχιμήδη.
.

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 20, 2021 9:08 pm
από Mihalis_Lambrou
H μέθοδος του Αρχιμήδη από το Αρχαί της Γεωμετρίας:

Έστω ότι οι διχοτόμοι των B,\, C τέμνονται στο I.

Επί της BC παίρνουμε σημεία D,\, E με AB=BD,\, CE=CA. Tα τρίγωνα ABI, IBD είναι ίσα (άμεσο) οπότε AI=ID και γωνία A_1=D_1. Όμοια AI=IE και A_2=E_1.

Αφού IE=AI=ID, το τρίγωνο IED είναι ισοσκελές με D_1=E_1. Αλλά τότε A_1=D_1=E_1=A_2, δηλαδή η AI είναι διχοτόμος της A.
.