Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7783
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 20, 2021 11:48 pm

Ας είναι K το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C . Φέρνω και την ευθεία AK και τέμνει την BC στο D.

Οι κάθετες από το D στις KB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KC τις τέμνουν στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E. Το K προφανώς είναι το περίκεντρο του \vartriangle DZE .

Τα σημεία τομής , L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N των KB\,\,\kappa \alpha \iota \,DZ\,\, αφ ενός και των KC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE αφ ετέρου είναι μέσα των DZ\,\,,\,\,DE.
Διχοτόμοι του Αρχιμήδη.png
Διχοτόμοι του Αρχιμήδη.png (39.76 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Η LN που είναι παράλληλη στην ZE διέρχεται και από τα μέσα των υποτεινουσών των ορθογωνίων τριγώνων LZB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NEC οπότε : ZE//LN//BC.

Μετά απ’ αυτά : \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{x_{}}} = \widehat {{C_{}}} \hfill \\ 
  \widehat {{y_{}}} = 2\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}

και άρα το τετράπλευρο AZKE είναι εγγράψιμο, οπότε αφού KZ = KE η AKδιχοτομεί τη γωνία \widehat {{A_{}}} του \vartriangle ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 21, 2021 11:01 am

Μία με διανύσματα. Καλύτερα να τα δούμε ως δυνάμεις, στην Φυσική.

Τοποθετούμε έξι δυνάμεις στις κορυφές των γωνιών του τριγώνου, όπως οι κόκκινες στο σχήμα. Οι δυνάμεις είναι ίσες σε μέγεθος αλλά έχουν άλλη φορά ή διεύθυνση. Το σύστημα αυτό ισορροπεί επειδή το ζεύγος δυνάμεων σε κάθε πλευρά είναι ίσες και αντίθετες.

Τώρα βλέπουμε το σύστημα αλλιώς: Βρίσκουμε την συνισταμένη των δύο δυνάμεων στην κάθε κορυφή (γαλάζιες). Αφού το κάθε ζεύγος αποτελείται από δυνάμεις ίσου μεγέθους, η εκάστοτε συνισταμένη είναι κατά μήκος των διχοτόμων των γωνιών. Το γεγονός ότι οι συνισταμένες ισορροπούν (αφού όλο το σύστημα ισορροπεί), σημαίνει ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το τελευταίο είναι απλό να αποδειχθεί, αλλά κάπως το αμελούμε στην διδασκαλία μας, πάντως το χρησιμοποιούν οι Φυσικοί. Συνοψίζοντας, αφού οι τρεις γαλάζιες δυνάμεις διέρχονται από ένα κοινό σημείο, συμαίνει ότι οι διχοτόμοι συγκλίνουν.
.
Συνημμένα
dihotomoi ws dinameis.png
dihotomoi ws dinameis.png (7.04 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 21, 2021 1:35 pm

Δεν διάβασα με προσοχή όλες τις αποδείξεις οπότε ελπίζω να μην μπήκε.

Έστω I το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B και C. Θεωρώ τον μετασχηματισμό που προκύπτει μετά από ανάκλαση πρώτα στην BI και μετά στην CI. Αυτός είναι στροφή με κέντρο το I και γωνία διπλάσια της \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{\hat{B}}{2} - \frac{\hat{C}}{2}. Δηλαδή με γωνία 360^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{\circ} + \hat{A}. (Η φορά είναι αντιωρολογιακή αν τα A,B,C είναι με αντιωρολογιακή φορά.)

Ο μετασχηματισμός στέλνει αρχικά την ευθεία AB στην ευθεία BC και ακολούθως στην ευθεία CA. Άρα η εικόνα A' του A βρίσκεται πάνω στην ευθεία AC. Κοιτάζουμε τώρα το ισοσκελές τρίγωνο AIA'. Είναι \angle AIA' = 360^{\circ} - (180^{\circ}+\hat{A}) = (180^{\circ}-\hat{A}). Άρα \anglε IAC = \angle IAA' = \hat{A}/2. Δηλαδή η IA διχοτομεί την γωνία A.

[Δεν έχω δει ξανά αυτήν την απόδειξη αν και σίγουρα δεν θα είναι καινούργια. Την εμπνεύστηκα διότι σήμερα κάναμε με τους φοιτητές ισομετρίες στο επίπεδο, συνθέσεις αυτών των ισομετριών κτλ.]


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 21, 2021 3:07 pm

Κάνω το σχήμα στην ωραία μέθοδο του Δημήτρη (και την γράφω με δικά μου λόγια για να αποφύγω ανακλάσεις ώστε να είναι πιο προσιτή σε μαθητές).

Έστω ότι οι διχοτόμοι των B,C τέμνονται στο I. Παίρνουμε το συμμετρικό D του A προς την BI. Πέφτει βέβαια πάνω στην BC. Παίρνουμε τώρα το συμμετρικό A' του D ως προς την CI. Πέφτει βέβαια πάνω στην CA. Υπόψη ότι \angle ADA' = 180 - \angle BDA-\angle CDA= 180-(90-B/2)-(90-C/2) = (B+C)/2.

Yπολογίζουμε τώρα την γωνία \angle AIA', Ένας τρόπος είναι με γωνίες, όπως ο Δημήτρης. Άλλος τρόπος, μικρή παραλλαγή, είναι να πούμε ότι αφού εκ κατασκευής IA=ID=IA', ο κύκλος κέντρου I και ακτίνας IA διέρχεται από τα D, A', A άρα \angle AIA'= 2\angle ADA' = B+C. Οπότε \angle IAA' = \angle IA'A = (180-B-C)/2=A/2, δηλαδή AI διχοτόμος της A.
.
Συνημμένα
dihotomoi Dim Hrist.png
dihotomoi Dim Hrist.png (110.28 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 21, 2021 6:19 pm

Ξανακάνω την απόδειξη του Δημήτρη, η οποία μου αρέσει ιδιαίτερα. Οι προσθήκες μου στα παρακάτω είναι μηδαμινές καθώς όλη η ουσία υπάρχει ήδη στην απόδειξη του Δημήτρη.

Έστω ότι οι διχοτόμοι των B,C τέμνονται στο I. Παίρνω επί της BC σημείο D με BD=AB. Έπεται ότι τα τρίγωνα AIB, BID είναι ίσα και άρα \hat A_1= \hat D_1 και AI=ID.

Παίρνουμε τώρα στην CA σημείο E με CE=CD. Έπεται ότι τα τρίγωνα DIC, CIE είναι ίσα και άρα \hat D_1= \hat E_1 και ID=IE (και ίσα με την AI).

Έπεται ότι το τρίγωνο AIE είναι ισοσκελές και \hat E_1=\hat A_2. Με τις προηγούμενες ισότητες γωνιών έχουμε \hat A_1= \hat D_1 =\hat E_1= \hat A_2. Τελειώσαμε.
.
Συνημμένα
dihotomoi Dim Hrist 2.png
dihotomoi Dim Hrist 2.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5589
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιαν 21, 2021 9:39 pm

Ας δούμε και αυτό:

Θεωρούμε για τρίγωνο ABC, τα σημεία D \in BC,\;E \in AB, τέτοια που BD = BE. Θεωρούμε σημείο J \in AC, τέτοιο που \angle DEJ = \frac{\pi }{2} - \frac{{\angle C}}{2} και τον περιγεγραμμένο κύκλο c στο τρίγωνο EDJ που τέμνει την πλευρά BC στο F και τις πλευρές AC,\;AB στα σημεία K,L αντίστοιχα. Έτσι με απλούς υπολογισμούς γωνιών παίρνουμε ότι τα τρίγωνα CJF,\;\,ALK είναι ισοσκελή αντίστοιχων κορυφών C, A. Τότε στο κέντρο του κύκλου c θα συναντώνται οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου ABC.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Ιαν 24, 2021 12:14 am

Και μία ακόμη απόδειξη που νομίζω ότι δεν είδα παραπάνω:

Ας υποθέσουμε ότι AB\leq AC. Προεκτείνουμε την AB προς το B κατά τμήμα BD ώστε AD=AC και έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών B και C τέμνονται στο I. Τότε από το τρίγωνο ABC έχουμε \angle{A}=180-2\omega-2\theta και από το (ισοσκελές) ADC έχουμε \angle{A}=180-2\phi. Άρα \phi=\omega+\theta, κι επειδή η γωνία BIC είναι ως γνωστόν ίση με 90^{\circ}+\dfrac{A}{2}=180^{\circ}-\phi άρα το τετράπλευρο BDCI είναι εγγράψιμο.

Έτσι, αν φέρουμε τις AI, DI τότε τα τρίγωνα AID, AIC είναι ίσα [AD=AC, ID=IC (οι προσκείμενες της DC γωνίες του IDC είναι φανερά ίσες) και τέλος D_1=C_1=\omega], άρα \angle{A_1}=\angle{A_2} συνεπώς η AI είναι διχοτόμος κι έτσι το συμπέρασμα έπεται!

Αλέξανδρος

EDIT: Είναι εντελώς όμοια με εκείνη την απόδειξη του Κώστα στο post #15. Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης!
Συνημμένα
Διχοτόμοι.PNG
Διχοτόμοι.PNG (19.07 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης