Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Όπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεία της διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της, και αντίστροφα.
Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.
Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.
Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.
Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.
Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.
Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 203
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Φέρνουμε τις διχοτόμους των που τέμνονται στο .
Έτσι και
Τώρα διαδοχικά με νόμο ημιτόνων στα παίρνουμε:
και οι διχοτόμοι συντρέχουν στο
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Μιχάλη, δεν ξέρω αν σου κάνει.
από το και τέμνει την στο Είναι,
Ομοίως και η διχοτόμος της διέρχεται από το
Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ο κύκλος διέρχεται από το και τέμνει την στο Είναι,
Ομοίως και η διχοτόμος της διέρχεται από το
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Βεβαίως μου κάνουν, και οι δύο παραπάνω μέθοδοι. Μου είναι άλλωστε καινούργιες. Δεν τις γνώριζα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Φέρνουμε τις διχοτόμους από τα και έστω ότι τέμνονται στο . Από το θεώρημα των διχοτόμων δύο φορές είναι
. Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος των διχοτόμων στο τρίγωνο , το είναι στην διχοτόμο της . Τελειώσαμε.
Η παλαιότερη πηγή στην οποία έχω δει την κομψή αυτή απόδειξη είναι το βιβλίο ARNAULD, Nouveaux Εléments de Géometrie (1667). Επίσης υπάρχει παραλλαγή της στο Todhunter, Elements of Geometry (1864).
Αργά ή γρήγορα θα αναρτήσω και άλλες κομψές αποδείξεις του Θεωρήματος, συμπεριλαμβανομένης και της ξεχασμένης του Αρχιμήδη.
Και ο ίδιος είχα κατασκευάσει διάφορες αποδείξεις, αλλά αργά ή γρήγορα τις είδα σχεδόν όλες, τις ίδιες ή παραλλαγές τους, στα παλιά βιβλία. Μία τέτοια είναι η παραπάνω. Παραλλαγή της είναι να φέρουμε την διχοτόμο και να βρούμε συναρτήσει των πλευρών το μήκος του , όπου το σημείο που την τέμνει η διχοτόμος της (απλό). Κατόπιν να κάνουμε το ίδιο για την διχοτόμο από το βρίσκοντας το αντίτοιχο . Θα παρατηρήσουμε (έχουμε συμμετρία) ότι , και λοιπά.
. Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος των διχοτόμων στο τρίγωνο , το είναι στην διχοτόμο της . Τελειώσαμε.
Η παλαιότερη πηγή στην οποία έχω δει την κομψή αυτή απόδειξη είναι το βιβλίο ARNAULD, Nouveaux Εléments de Géometrie (1667). Επίσης υπάρχει παραλλαγή της στο Todhunter, Elements of Geometry (1864).
Αργά ή γρήγορα θα αναρτήσω και άλλες κομψές αποδείξεις του Θεωρήματος, συμπεριλαμβανομένης και της ξεχασμένης του Αρχιμήδη.
Και ο ίδιος είχα κατασκευάσει διάφορες αποδείξεις, αλλά αργά ή γρήγορα τις είδα σχεδόν όλες, τις ίδιες ή παραλλαγές τους, στα παλιά βιβλία. Μία τέτοια είναι η παραπάνω. Παραλλαγή της είναι να φέρουμε την διχοτόμο και να βρούμε συναρτήσει των πλευρών το μήκος του , όπου το σημείο που την τέμνει η διχοτόμος της (απλό). Κατόπιν να κάνουμε το ίδιο για την διχοτόμο από το βρίσκοντας το αντίτοιχο . Θα παρατηρήσουμε (έχουμε συμμετρία) ότι , και λοιπά.
- Συνημμένα
-
- dihotomoi sigklinoyn.png (5.89 KiB) Προβλήθηκε 2278 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 13, 2021 7:47 pmΌπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεία της διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της, και αντίστροφα.
Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.
Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.
Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.
είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και .
Η τέμνει την στο και ισχύει
Άρα διχοτόμος της άρα και της γωνίας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Έστω ότι οι διχοτόμοι των τέμνονται στο και
που αποδεικνύει το ζητούμενο.- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Στο ίδιο πνεύμα με αυτό της προηγούμενης απάντησης από τον Μιχάλη. Την καταγράφω για τον κόπο και την ελάχιστη διαφορετικότητα.
Οι διχοτόμοι , τέμνονται στο , και είναι και . Είναι τότε
Οι διχοτόμοι , τέμνονται στο , και είναι και . Είναι τότε
- Συνημμένα
-
- rsz_doxotomoi.png (40.76 KiB) Προβλήθηκε 2198 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 13, 2021 7:47 pmΌπως ξέρουν οι πάντες, οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν. Το θεώρημα αυτό υπάρχει (όχι ακριβώς σε αυτή την μορφή αλλά σε ισοδύναμη) στα Στοιχεία του Ευκλείδη Δ, 4 και από εκεί σε όλες ανεξαιρέτως τις Γεωμετρίες. Παντού και μονότονα βλέπει κανείς την ίδια απόδειξη, με χρήση του γεγονότος ότι τα σημεία της διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της, και αντίστροφα.
Άντε αν κάποιο βιβλίο έχει και το Θεώρημα Ceva, να δώσει το παραπάνω ως εφαρμογή με χρήση του Θεωρήματος των διχοτόμων, πάλι μονότονα επαναλαμβάνοντας τον Giovanni Ceva (1647–1734) στο De lineis rectis.
Έχω κατασκευάσει αρκετές ακόμη αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος, και ζητώ από το φόρουμ να καταγράψει εδώ όσες μπορεί. Ο αληθινός λόγος που το κάνω είναι γιατί υπάρχει μία άγνωστη στον κόσμο απόδειξη του Αρχιμήδη, που μου αρέσει, και την οποία θα καταγράψω όταν δούμε εδώ μερικές από τα μέλη μας.
Η απόδειξη αυτή του Αρχιμήδη υπάρχει σε ένα και μοναδικό χειρόγραφο στην Κωνσταντινούπολη, σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση (και από εκεί σε δυσεύρετη Γερμανική και Αγγλική). Δυστυχώς η Ελληνική έκδοση των Απάντων του Αρχιμήδη από στον Ευάγγελο Σταμάτη δεν έχει το σχετικό χειρόγραφο, αλλά ούτε το έχουν η έκδοση του Heath ή του Dijksterhuis. Και δεν έχω δει την απόδειξη πουθενά-πουθενά, πέρα από την δυσεύρετη Αγγλική μετάφραση.
Έτω το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών
Θεωρούμε τους κύκλους που τέμνονται αντίστοιχα από τις στα
Όλες οι σημειωμένες πράσινες γωνίες είναι ίσες με άρα συνευθειακά
Όμως λόγω ισότητας των γωνιών , το είναι εγγράψιμμο,άρα
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Καλησπέρα!
Δίνω μια ακόμη προσέγγιση:
Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και τα σημεία τομής των διχοτόμων
με τον περιγεγραμμένο κύκλο.
Οι ευθείες τέμνονται κάθετα , αφού η γωνία που σχηματίζουν ισούται με .
Όμοια , οι τέμνονται κάθετα και οι τέμνονται κάθετα. Άρα , οι ύψη του τριγώνου και συντρέχουν, δηλαδή οι διχοτόμοι του τριγώνου συντρέχουν.
Δίνω μια ακόμη προσέγγιση:
Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και τα σημεία τομής των διχοτόμων
με τον περιγεγραμμένο κύκλο.
Οι ευθείες τέμνονται κάθετα , αφού η γωνία που σχηματίζουν ισούται με .
Όμοια , οι τέμνονται κάθετα και οι τέμνονται κάθετα. Άρα , οι ύψη του τριγώνου και συντρέχουν, δηλαδή οι διχοτόμοι του τριγώνου συντρέχουν.
τελευταία επεξεργασία από ksofsa σε Σάβ Ιαν 16, 2021 10:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κώστας
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
είναι χαρταετός ( ) , ενώ το τρίγωνο είναι ισοσκελές , άρα : διχοτόμος .
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών .
Φέρνω από το τις παράλληλες προς τις πλευρές και τέμνουν
στα την και στα τις .
Θέτω: , Ισχύουν ταυτόχρονα:
Αρα το τετράπλευρο είναι ρόμβος , οπότε η είναι η τρίτη διχοτόμος .
Φέρνω από το τις παράλληλες προς τις πλευρές και τέμνουν
στα την και στα τις .
Θέτω: , Ισχύουν ταυτόχρονα:
Αρα το τετράπλευρο είναι ρόμβος , οπότε η είναι η τρίτη διχοτόμος .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Παραλλαγή αυτής του Μιχάλη στο ποστ .
Φέρνουμε τους κύκλους που βλέπουν τοσ υπό γωνίες , αντίστοιχα, και έστω ότι τέμνονται στο . Τότε . Γράφουμε λοιπόν και τον κύκλο που βλέπει την υπό γωνία ο οποίος, επίσης, διέρχεται από το . Οι τρεις συγκλίνοντες αυτοί κύκλοι φαίνονται στο σχήμα. Προεκτείνουμε τις μέχρι να τους τμήσουν στα αντίστoιχα. Από διάφορα εγγράψιμμα τετράπλευρα έχουμε
και εκάστη ίση με . Άρα τα είναι συνευθειακά (οι γωνίες στο έχουν άθροισμα ). Ομοίως τα και . Άρα εγγράψιμμο αφού . Οπότε
, δηλαδή η διχοτομεί την . Kαι λοιπά.
Φέρνουμε τους κύκλους που βλέπουν τοσ υπό γωνίες , αντίστοιχα, και έστω ότι τέμνονται στο . Τότε . Γράφουμε λοιπόν και τον κύκλο που βλέπει την υπό γωνία ο οποίος, επίσης, διέρχεται από το . Οι τρεις συγκλίνοντες αυτοί κύκλοι φαίνονται στο σχήμα. Προεκτείνουμε τις μέχρι να τους τμήσουν στα αντίστoιχα. Από διάφορα εγγράψιμμα τετράπλευρα έχουμε
και εκάστη ίση με . Άρα τα είναι συνευθειακά (οι γωνίες στο έχουν άθροισμα ). Ομοίως τα και . Άρα εγγράψιμμο αφού . Οπότε
, δηλαδή η διχοτομεί την . Kαι λοιπά.
- Συνημμένα
-
- dihotomoi sigklinoun.png (43.81 KiB) Προβλήθηκε 2022 φορές
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Καλημέρα!
Άλλη μια προσέγγιση:
Αρχικά, θεωρώ την περίπτωση .
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι . Θεωρώ σημείο στην , ώστε .
Τότε .
Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων των . Τότε και το εγγράψιμο.
Άρα, και άρα .
Συνεπώς, η μεσοκάθετος του και άρα διχοτόμος της γωνίας στο ισοσκελές .
Συμπεραίνουμε ότι οι διχοτόμοι του τριγώνου συντρέχουν στο .
Για την περίπτωση , παρατηρούμε ότι το ανήκει στη μεσοκάθετο του και άρα η μεσοκάθετος του και διχοτόμος της γωνίας .
Άλλη μια προσέγγιση:
Αρχικά, θεωρώ την περίπτωση .
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι . Θεωρώ σημείο στην , ώστε .
Τότε .
Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων των . Τότε και το εγγράψιμο.
Άρα, και άρα .
Συνεπώς, η μεσοκάθετος του και άρα διχοτόμος της γωνίας στο ισοσκελές .
Συμπεραίνουμε ότι οι διχοτόμοι του τριγώνου συντρέχουν στο .
Για την περίπτωση , παρατηρούμε ότι το ανήκει στη μεσοκάθετο του και άρα η μεσοκάθετος του και διχοτόμος της γωνίας .
Κώστας
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
τέμνονται στο και τέμνουν τις στα αντίστοιχα. Αν η τέμνει την στο τότε προφανώς το
είναι το ορθικό τρίγωνο του άρα η διχοτομεί την Αλλά, η διχοτομεί την (όπως
και την εξ υποθέσεως), οπότε το είναι σημείο της ευθείας Ομοίως βρίσκω ότι το ανήκει και στην ευθεία
Επομένως δηλαδή η διχοτομεί την
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
[quote="george visvikis" post_id=334674 time=1610816177 user_id=10857]
... είναι το ορθικό τρίγωνο του ...
[/quote]
Γιώργο, πολύ όμορφο και μου είναι νέο.
Ξέρω και μία άλλη ωραία απόδειξη με χρήση του ορθικού, την οποία αφήνω μήπως την βρει άλλος. Θα την γράψω αν χρειαστεί, γιατί είναι κομψή.
Για την ώρα σημειώνω ότι ο συνηθισμένος τρόπος είναι από την σύγκλιση των διχοτόμων να καταλήξουμε στην σύγκλιση των υψών (που είναι δυσκολότερο) αλλά μπορούμε και το ανάποδο, όπως εδώ και στο ποστ του Κώστα (kosfsa) παραπάνω.
Η μέθοδος του Κώστα και η ανάποδη (από διχοτόμους στα ύψη με χρήση του περιγεγραμμένου κύκλου) μου ήταν γνώριμες τεχνικές. Το ίδιο και μία απόδειξη με το ορθικό ή ανάποδα. 'Ομως έχω και για τα δύο μία απρόσμενη τεχνική, που θα την καταγράψω εδώ αργά ή γρήγορα. Και τα δύο αυτά ζεύγη αποδείξεων τα είχα καταγράψει σε διάφορα σημεία ή σε ομιλίες μου για το ορθόκεντρο.
... είναι το ορθικό τρίγωνο του ...
[/quote]
Γιώργο, πολύ όμορφο και μου είναι νέο.
Ξέρω και μία άλλη ωραία απόδειξη με χρήση του ορθικού, την οποία αφήνω μήπως την βρει άλλος. Θα την γράψω αν χρειαστεί, γιατί είναι κομψή.
Για την ώρα σημειώνω ότι ο συνηθισμένος τρόπος είναι από την σύγκλιση των διχοτόμων να καταλήξουμε στην σύγκλιση των υψών (που είναι δυσκολότερο) αλλά μπορούμε και το ανάποδο, όπως εδώ και στο ποστ του Κώστα (kosfsa) παραπάνω.
Η μέθοδος του Κώστα και η ανάποδη (από διχοτόμους στα ύψη με χρήση του περιγεγραμμένου κύκλου) μου ήταν γνώριμες τεχνικές. Το ίδιο και μία απόδειξη με το ορθικό ή ανάποδα. 'Ομως έχω και για τα δύο μία απρόσμενη τεχνική, που θα την καταγράψω εδώ αργά ή γρήγορα. Και τα δύο αυτά ζεύγη αποδείξεων τα είχα καταγράψει σε διάφορα σημεία ή σε ομιλίες μου για το ορθόκεντρο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Συνεχίζω το αμέσως προηγούμενο ποστ μου. Προς το τέλος του β' μέρους έχω την απρόσμενη τεχνική που αναφέρθηκα.
α) Το αριστερό σχήμα δείχνει την τεχνική του Κώστα (ksofsa). Προσοχή, δεν σχεδίασα τις διχοτόμους να συγκλίνουν αφού είναι το αποδεικτέο αλλά και για να φανεί καθαρά ότι δεν το χρησιμοποιώ στον συλλογισμό. Τα βήματα υπάρχουν στον Κώστα, όπου δείχνει ότι οι διχοτόμοι είναι ύψη κάποιου άλλου τριγώνου, του κόκκινου, άρα συγκλίνουν.
Δεν έχω εντοπίσει την πιο παλιά αναφορά αυτής της απόδειξης αλλά την έχω δει σε ξένες Γεωμετρίες του 1900. Δεν το έχω ψάξει εξονυχιστικά. Συνήθως πάει ανάποδα, να δείξουμε δηλαδή ότι τα ύψη συγκλίνουν από την σύγκλιση των διχοτόμων.
β) Υπάρχει μία ωραία παραλλαγή, πάλι με χρήση των υψών.
Ξεκινώ με ένα τυχαίο τρίγωνο (βλέπε το δεξιό σχήμα) και φέρνω τα ύψη του, τα οποία ξέρω ότι συγκλίνουν, οπότε έχω δικαίωμα να τα ζωγραφίσω όπως ακριβώς έκανα. Κοιτάμε τώρα το τρίγωνο , και θα δειξουμε ότι τα ύψη του αρχικού είναι διχοτόμοι του. Πράγματι
, όπως θέλαμε. Όμοια οι υπόλοιπες.
Με άλλα λόγια δείξαμε ότι οι διχοτόμοι του συγκλίνουν. Τελειώσαμε άραγε; Όχι βέβαια, γιατί δείξαμε ότι οι διχοτόμοι των τριγώνων του τύπου, όπως το , που προκύπτουν από την εν λόγω διαδικασία, έχουν συγκλίνουσες διχοτόμους. Είναι όμως όλα; Ευτυχώς η απάντηση είναι ναι.
Εδώ είναι η απρόσμενη τεχνική που αναφέρθηκα:
Από την απόδειξη ξέρουμε ότι , και όμοια . Αν λοιπόν μας δώσουν ένα τρίγωνο με γωνίες δοθείσες, επιλέγουμε οπότε πρώτον , δηλαδή οι είναι γωνίες τριγώνου. Δεύτερον, αν κάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο συγκεκριμένο τρίγωνο , το που προκύπτει έχει γωνίες και όμοια οι υπόλοιπες. Δηλαδή, η παραπάνω διαδικασία μας οδηγεί στο δικό μας, δοσμένο . ό.έ.δ.
Σχόλιο: Υπάρχει αντίστοιχη (διπλή) διαδικασία από τα ύψη στις διχοτόμους του ορθικού και πίσω. Θα την γράψω εν ευθέτω χρόνω.
α) Το αριστερό σχήμα δείχνει την τεχνική του Κώστα (ksofsa). Προσοχή, δεν σχεδίασα τις διχοτόμους να συγκλίνουν αφού είναι το αποδεικτέο αλλά και για να φανεί καθαρά ότι δεν το χρησιμοποιώ στον συλλογισμό. Τα βήματα υπάρχουν στον Κώστα, όπου δείχνει ότι οι διχοτόμοι είναι ύψη κάποιου άλλου τριγώνου, του κόκκινου, άρα συγκλίνουν.
Δεν έχω εντοπίσει την πιο παλιά αναφορά αυτής της απόδειξης αλλά την έχω δει σε ξένες Γεωμετρίες του 1900. Δεν το έχω ψάξει εξονυχιστικά. Συνήθως πάει ανάποδα, να δείξουμε δηλαδή ότι τα ύψη συγκλίνουν από την σύγκλιση των διχοτόμων.
β) Υπάρχει μία ωραία παραλλαγή, πάλι με χρήση των υψών.
Ξεκινώ με ένα τυχαίο τρίγωνο (βλέπε το δεξιό σχήμα) και φέρνω τα ύψη του, τα οποία ξέρω ότι συγκλίνουν, οπότε έχω δικαίωμα να τα ζωγραφίσω όπως ακριβώς έκανα. Κοιτάμε τώρα το τρίγωνο , και θα δειξουμε ότι τα ύψη του αρχικού είναι διχοτόμοι του. Πράγματι
, όπως θέλαμε. Όμοια οι υπόλοιπες.
Με άλλα λόγια δείξαμε ότι οι διχοτόμοι του συγκλίνουν. Τελειώσαμε άραγε; Όχι βέβαια, γιατί δείξαμε ότι οι διχοτόμοι των τριγώνων του τύπου, όπως το , που προκύπτουν από την εν λόγω διαδικασία, έχουν συγκλίνουσες διχοτόμους. Είναι όμως όλα; Ευτυχώς η απάντηση είναι ναι.
Εδώ είναι η απρόσμενη τεχνική που αναφέρθηκα:
Από την απόδειξη ξέρουμε ότι , και όμοια . Αν λοιπόν μας δώσουν ένα τρίγωνο με γωνίες δοθείσες, επιλέγουμε οπότε πρώτον , δηλαδή οι είναι γωνίες τριγώνου. Δεύτερον, αν κάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο συγκεκριμένο τρίγωνο , το που προκύπτει έχει γωνίες και όμοια οι υπόλοιπες. Δηλαδή, η παραπάνω διαδικασία μας οδηγεί στο δικό μας, δοσμένο . ό.έ.δ.
Σχόλιο: Υπάρχει αντίστοιχη (διπλή) διαδικασία από τα ύψη στις διχοτόμους του ορθικού και πίσω. Θα την γράψω εν ευθέτω χρόνω.
- Συνημμένα
-
- dihotomoi kai ipsi.png (24.26 KiB) Προβλήθηκε 1874 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Συνέχεια.
Με χρήση του ορθικού τριγώνου με δεδομένο ότι τα ύψη συγκλίνουν, Συνήθως πάμε ανάποδα αλλά με τίμημα να πρέπει να αποδείξουμε (χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την σύγκλισή τους) ότι τα ύψη είναι διχοτόμοι του ορθικού. Αλλά αυτό είναι εύκολο από εγγράψιμμα τετράπλευρα όπου το πρώτο βήμα είναι να αποδείξουμε ότι οι κόκκινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες.
Πίσω στο θέμα μας. Αφού, ως γνωστόν, τα ύψη συγκίνουν και είναι διχοτόμοι του ορθικού σημαίνει ότι οι διχοτόμοι κάθε τριγώνου το οποίο προκύπτει ως ορθικό κάποιου άλλου, έχουν την ζητούμενη ιδιότητα. Είναι άραγε όλα τα τρίγωνα τέτοια; Ευτυχώς, ναι.
Πράγματι το έχει γωνίες και λοιπά. Αν λοιπόν μας δώσουν ένα τρίγωνο με γωνίες [unparseable or potentially dangerous latex formula], επιλέγουμε και λοιπά. Tότε , δηλαδή είναι γωνίες τριγώνου και λόγω των έχει ως ορθικό το .
Θα συνεχίσω και με άλλες ωραίες αποδείξεις, πρώτα απ' όλα του Αρχιμήδη.
.
Με χρήση του ορθικού τριγώνου με δεδομένο ότι τα ύψη συγκλίνουν, Συνήθως πάμε ανάποδα αλλά με τίμημα να πρέπει να αποδείξουμε (χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την σύγκλισή τους) ότι τα ύψη είναι διχοτόμοι του ορθικού. Αλλά αυτό είναι εύκολο από εγγράψιμμα τετράπλευρα όπου το πρώτο βήμα είναι να αποδείξουμε ότι οι κόκκινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες.
Πίσω στο θέμα μας. Αφού, ως γνωστόν, τα ύψη συγκίνουν και είναι διχοτόμοι του ορθικού σημαίνει ότι οι διχοτόμοι κάθε τριγώνου το οποίο προκύπτει ως ορθικό κάποιου άλλου, έχουν την ζητούμενη ιδιότητα. Είναι άραγε όλα τα τρίγωνα τέτοια; Ευτυχώς, ναι.
Πράγματι το έχει γωνίες και λοιπά. Αν λοιπόν μας δώσουν ένα τρίγωνο με γωνίες [unparseable or potentially dangerous latex formula], επιλέγουμε και λοιπά. Tότε , δηλαδή είναι γωνίες τριγώνου και λόγω των έχει ως ορθικό το .
Θα συνεχίσω και με άλλες ωραίες αποδείξεις, πρώτα απ' όλα του Αρχιμήδη.
.
- Συνημμένα
-
- orthiko gia dihotomous.png (6.98 KiB) Προβλήθηκε 1798 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
H μέθοδος του Αρχιμήδη από το Αρχαί της Γεωμετρίας:
Έστω ότι οι διχοτόμοι των τέμνονται στο .
Επί της παίρνουμε σημεία με . Tα τρίγωνα είναι ίσα (άμεσο) οπότε και γωνία . Όμοια και .
Αφού , το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Αλλά τότε , δηλαδή η είναι διχοτόμος της .
.
Έστω ότι οι διχοτόμοι των τέμνονται στο .
Επί της παίρνουμε σημεία με . Tα τρίγωνα είναι ίσα (άμεσο) οπότε και γωνία . Όμοια και .
Αφού , το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Αλλά τότε , δηλαδή η είναι διχοτόμος της .
.
- Συνημμένα
-
- egkentro Arhimidis.png (6.51 KiB) Προβλήθηκε 1761 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες