Σελίδα 1 από 1

Λόγος εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 12, 2021 11:35 pm
από Μιχάλης Νάννος
shape.png
shape.png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC

Re: Λόγος εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 13, 2021 9:15 am
από george visvikis
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Ιαν 12, 2021 11:35 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC
Καλημέρα!

\displaystyle (ABC) = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} και με νόμο συνημιτόνου στο ABC βρίσκω:
Λόγος εμβαδών.ΜΝ.png
Λόγος εμβαδών.ΜΝ.png (32.34 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
\displaystyle A{B^2} = {c^2} = {a^2}(2 - \sqrt 2 ) = aBD \Leftrightarrow BD = a(2 - \sqrt 2 ) και \boxed{ED = DC = a(\sqrt 2  - 1)}

\displaystyle \sin 67,5^\circ  = \frac{{EK}}{{ED}} \Leftrightarrow EK = a(\sqrt 2  - 1)\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}. Αλλά, \displaystyle (EKD) = \frac{1}{2}EK \cdot ED\sin 22,5^\circ,

οπότε, \displaystyle (EKD) = \frac{{{a^2}{{(\sqrt 2  - 1)}^2}\sqrt 2 }}{8} και \displaystyle (ABEK) = (ABD) - (EKD) \Leftrightarrow

\displaystyle (ABEK) = \frac{{{a^2}(2 - \sqrt 2 )\sqrt 2 }}{4} - \frac{{{a^2}{{(\sqrt 2  - 1)}^2}\sqrt 2 }}{8} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8} \Leftrightarrow \boxed{\frac{(ABEK)}{(ABC)}=\frac{1}{2}}

Re: Λόγος εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 13, 2021 7:37 pm
από Doloros
Φέρνω στο A κάθετη επί την AC = b και τέμνει την CB στο S. Ας είναι και M το μέσο του AD. Θέτω DE = DC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = u.

Είναι προφανές ότι τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADS είναι ίσα άρα και \boxed{SB = x} ,

το ABD είναι ισοσκελές και όμοιο με τα δύο προηγούμενα (αλλά την ομοιότητα δεν τη χρησιμοποιώ).

Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  2x + u = b \hfill \\ 
  3x + u = b\sqrt 2  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = b\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  u = b\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και \boxed{\frac{x}{u} = \sqrt 2  + 1}\,\,\,\left( 3 \right)
Λόγος εμβαδών_Νάννος 12_01_2021_oritzin_1.png
Λόγος εμβαδών_Νάννος 12_01_2021_oritzin_1.png (42.05 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Επειδή SM//EK\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = MD θα έχω : \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{KD}}{{MD}} = \frac{x}{b} \hfill \\ 
  \frac{{\left( {ABE} \right)}}{{\left( {KDE} \right)}} = \frac{{EB \cdot AB}}{{ED \cdot KD}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  KD = \frac{x}{b} \cdot \frac{{AB}}{2} \hfill \\ 
  \frac{{\left( {ABE} \right)}}{{\left( {KDE} \right)}} = \frac{{u \cdot AB}}{{x \cdot KD}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .


Λόγω των \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right) έχω : \boxed{\left( {ABE} \right) = 2\left( {KDE} \right)}\,\,\left( 4 \right) :

Τώρα : \displaystyle \left( {ABC} \right) = 2\left( {ABEK} \right) \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) = 2\left\{ {\left( {ABE} \right) + \left( {AED} \right) - \left( {KED} \right)} \right\} ή

\left( {ABE} \right) + 2\left( {AED} \right) = 2\left\{ {\left( {ABE} \right) + \left( {AED} \right) - \left( {KED} \right)} \right\} ή

\left( {ABE} \right) = 2\left\{ {\left( {ABE} \right) - \left( {KED} \right)} \right\} \Leftrightarrow \left( {ABE} \right) = 2\left( {KED} \right) που λόγω της \left( 4 \right) ισχύει.

Re: Λόγος εμβαδών

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 16, 2021 11:55 am
από STOPJOHN
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τρί Ιαν 12, 2021 11:35 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC
(EKD)=E_{1}=(KDC),ED=DC=t,BD=b-t, \dfrac{(ABEK)}{(ABC)}=\dfrac{(ABD)-E_{1}}{(ABC)},(1),

Από τα όμοια τρίγωνα ABC,ABD είναι

\dfrac{BD}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow BD=\dfrac{c^{2}}{b},BD=b-t,c^{2}=b^{2}(2-\sqrt{2}),

 BD=b(2-\sqrt{2}),t=b(\sqrt{2}-1), (ABC)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.b^{2},(2),

     (ABD)=\dfrac{b^{2}\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{4},(3),




EK//BP\Rightarrow \dfrac{DK}{DP}=\dfrac{t}{BD},(*), AP=BP=\dfrac{c\sqrt{2}}{2},

PD=AD-AP,

DK=DP.\dfrac{t}{BD}=\dfrac{b}{2}(\sqrt{2}-1)\sqrt{2-\sqrt{2}}{2}=b.\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}})}{2}, 



 EK=\dfrac{t.BP}{BD}=b.\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}, E_{1}=(3\sqrt{2}-4).\dfrac{b^{2}}{8},

 (1),(2),(3)\Rightarrow

 \dfrac{(ABEK)}{(ABC)}=\dfrac{1}{2}