Διπλάσια γωνία 11

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλάσια γωνία 11

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 02, 2021 8:26 pm

Διπλάσια  γωνία 11.png
Διπλάσια γωνία 11.png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές
Δίνεται ορθή γωνία \widehat{xOy} και δύο σημεία A ,B της Ox , ( OA <OB ) . Να προσδιορισθεί

σημείο S , της Oy , τέτοιο ώστε : \widehat{OSA}=2\widehat{OBS} . Εφαρμογή : OA=6 , AB=3 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4920
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διπλάσια γωνία 11

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 02, 2021 9:36 pm

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι δεν είχε κάτι τέτοιο στο νου του ο Θανάσης.

Διπλάσια  γωνία 11.png
Διπλάσια γωνία 11.png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Έστω OA = a, OB = b. Είναι 0< \theta <\frac{\pi}{2}.

Είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \theta  = \frac{{OS}}{b},\;\;\varepsilon \varphi 2\theta  = \frac{a}{{OS}} \Rightarrow \frac{{2\varepsilon {\varphi ^2}\theta }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta }} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta  = \sqrt {\frac{a}{{2b + a}}}

Οπότε  \displaystyle OS = b \cdot \sqrt {\frac{a}{{2b + a}}} , κατασκευάσιμο. Για a=6, b = 3, είναι OS = 4,5


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13581
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διπλάσια γωνία 11

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 02, 2021 9:46 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 02, 2021 8:26 pm
Διπλάσια γωνία 11.pngΔίνεται ορθή γωνία \widehat{xOy} και δύο σημεία A ,B της Ox , ( OA <OB ) . Να προσδιορισθεί

σημείο S , της Oy , τέτοιο ώστε : \widehat{OSA}=2\widehat{OBS} . Εφαρμογή : OA=6 , AB=3 .
Με OS=s,\, OA=a,\, OB = b έχουμε \dfrac {a}{s}= \tan 2\theta = \dfrac {2\tan \theta }{1-\tan ^2 \theta }=  \dfrac {2\dfrac {s}{b} }{1-\left (\dfrac {s}{b}\right )^2  }

και λύνουμε ως προς s. Εδώ s= \dfrac {b\sqrt a}{\sqrt {2b+a}}. Με τους δεδομένους αριθμούς s=9/2.

Edit: Τώρα βλέπω ότι με πρόλαβε ο Γιώργος με την ίδια ακριβώς λύση. Το αφήνω για τον κόπο.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4104
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διπλάσια γωνία 11

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Ιαν 03, 2021 1:36 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 02, 2021 8:26 pm
Διπλάσια γωνία 11.pngΔίνεται ορθή γωνία \widehat{xOy} και δύο σημεία A ,B της Ox , ( OA <OB ) . Να προσδιορισθεί

σημείο S , της Oy , τέτοιο ώστε : \widehat{OSA}=2\widehat{OBS} . Εφαρμογή : OA=6 , AB=3 .
Ας δούμε και ένα προσδιορισμό του \displaystyle{S} καθαρά γεωμετρικό .
Θεωρώ το συμμετρικό \displaystyle{D}του \displaystyle{B} ως προς το \displaystyle{O} και σημείο \displaystyle{C} επί της \displaystyle{OA} ώστε η σειρά \displaystyle{\left( {D,O,C,A} \right)} να είναι αρμονική (\displaystyle{\dfrac{{DO}}{{DA}} = \dfrac{{CO}}{{CA}}}) (προφανέστατα προσδιορίσιμο) . Η τομή του ημικυκλίου με διαμέτρου \displaystyle{CD} με την ημιευθεία \displaystyle{Oy} είναι το ζητούμενο σημείο \displaystyle{S}.

Αφήνω την εύκολη απόδειξη … και το σχήμα για δημιουργική ασάφεια στους μαθητές :D

Τον γνωρίζετε τον Κύριο :lol:
Συνημμένα
Απολλώνιος κύκλος.jpg
Απολλώνιος κύκλος.jpg (8.35 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διπλάσια γωνία 11

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 03, 2021 7:50 am

Διπλάσια  γωνία 11.png
Διπλάσια γωνία 11.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Οι λύσεις των Γιώργου και Μιχάλη ήταν οι αναμενόμενες και συμβατές με την τώρα διδασκόμενη ύλη .

Η προσέγγιση του Στάθη είναι φυσικά "ομορφότερη" . Προβλέπει πάντως τον προσδιορισμό του ίχνους C

της διχοτόμου της \widehat{OSA} . Με γνωστά τα : OA=a , OB=b , προκύπτει ότι : OC=\dfrac{ba}{2b+a} .

Ας δείξουμε λοιπόν πως κατασκευάζεται το τμήμα OC .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσια γωνία 11

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 03, 2021 8:50 am

Ας είναι SD η διχοτόμος του \vartriangle SOA. Θέτω : OD = k\,,\,\,DA = m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = u προφανώς k + m = a\,\,\left( 1 \right).

Επειδή η OS εφάπτεται του κύκλου \displaystyle \left( {S,D,B} \right) θα είναι , {u^2} = k\left( {a + b} \right)\,\,\left( 2 \right).

Από το Θ. διχοτόμου στο \vartriangle SOA έχω: \dfrac{{AS}}{u} = \dfrac{m}{k} \Rightarrow \dfrac{{A{S^2}}}{{{u^2}}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{k^2}}} \Rightarrow \dfrac{{{u^2} + {a^2}}}{{{u^2}}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{k^2}}} .

Έτσι λόγω της \left( 2 \right) η τελευταία δίδει : \dfrac{{k\left( {a + b} \right) + {a^2}}}{{k\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{k^2}}} \Rightarrow \dfrac{{k\left( {a + b} \right) + {a^2}}}{{\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{m^2}}}{k}.
Διπλάσια γωνία 11_app.png
Διπλάσια γωνία 11_app.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Η προηγούμενη γίνεται: {a^2}k = \left( {a + b} \right)\left( {{m^2} - {k^2}} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {m + k} \right)\left( {m - k} \right) , δηλαδή :

ak = \left( {a + b} \right)\left( {m - k} \right) και αν θέσω \boxed{m = kx} έχω : \boxed{x = \frac{{2a + b}}{{a + b}}}.

Ο Απολλώνιος κύκλος του ευθυγράμμου τμήματος OA με λόγο, \boxed{x = \frac{{2a + b}}{{a + b}}}

τέμνει την Oy στο ζητούμενο σημείο S.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Ιαν 03, 2021 8:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13581
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διπλάσια γωνία 11

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 03, 2021 8:55 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 03, 2021 7:50 am
Προβλέπει πάντως τον προσδιορισμό του ίχνους C

της διχοτόμου της \widehat{OSA} . Με γνωστά τα : OA=a , OB=b , προκύπτει ότι : OC=\dfrac{ba}{2b+a} .

Ας δείξουμε λοιπόν πως κατασκευάζεται το τμήμα OC .
Η κατασκευή είναι γνωστή. Για λόγους πληρότητας προς όφελος των μαθητών μας και, γενικότερα, για κατασκευή x με \displaystyle{x=\dfrac {pq}{r}} παίρνουμε στην μία πλευρά γωνίας \angle xOy μήκη OA=r,\, AB=p και στην άλλη OC=q. Φέρουμε BD//AC που τέμνει την OC στο D. 'Ολα αυτά με κανόνα και διαδήτη. Από Θαλή είναι \dfrac {OA}{AB}= \dfrac {OC}{CD}, δηλαδή της μορφής \dfrac {r}{p}= \dfrac {q}{x}, που είναι αυτό που θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διπλάσια γωνία 11

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 03, 2021 9:26 am

Κατασκευή.png
Κατασκευή.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Για λόγους ευκολίας ας χρησιμοποιήσουμε ορθή γωνία .

Η κλασική λύση που προτείνει ο Μιχάλης φαίνεται στο επάνω σχήμα .

Προτείνω και την δεύτερη κατασκευή του τμήματος , η οποία είναι πιο οικονομική ... σε έκταση :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης