Κοινή χορδή

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κοινή χορδή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 25, 2020 2:53 pm

Κοινή χορδή..png
Κοινή χορδή..png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=5, BC=6, AC=7. Ο κύκλος (K) διέρχεται από το B και εφάπτεται της

AC στο A, ενώ ο κύκλος (L) διέρχεται από το C και εφάπτεται της AB στο A. Οι δύο κύκλοι επανατέμνονται στο

S. Να βρείτε το μήκος της κοινής χορδής AS.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κοινή χορδή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 26, 2020 10:39 pm

Έστω T το σημείο τομής της AS με τη BC , F το σημείο τομής της ημιευθείας TB με τον κύκλο \left( {A,S,B} \right)
και G το σημείο τομής της ημιευθείας TC με τον \left( {A,S,B} \right)

Θέτω : \boxed{AS = x\,\,,\,\,BF = t\,\,,\,\,TB = k\,,\,\,TG = m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,GC = z\,}

Από τη δύναμη σημείου C ως προς τον \left( {A,S,B} \right) έχω:

A{C^2} = CB \cdot CF \Rightarrow 49 = 6\left( {6 + t} \right) \Rightarrow \boxed{t = \frac{{13}}{6}} ομοίως A{B^2} = BG \cdot BC \Rightarrow 25 = \left( {6 - z} \right)6 \Rightarrow \boxed{z = \frac{{11}}{6}}
Κοινή χορδή Βισβίκης_1.png
Κοινή χορδή Βισβίκης_1.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Επειδή TB \cdot TF = TS \cdot TA = TG \cdot TC \Rightarrow k\left( {k + t} \right) = m(m + z) και

\boxed{k + m = 6 - z = 6 - \frac{{11}}{6} = \frac{{25}}{6}} θα έχω το σύστημα: \left\{ \begin{gathered} 
  k + m = \frac{{25}}{6} \hfill \\ 
  k\left( {k + \frac{{13}}{6}} \right) = m\left( {m + \frac{{11}}{6}} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  k = \frac{{75}}{{37}} \hfill \\ 
  m = \frac{{425}}{{222}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Συνεπώς \boxed{TC = m + z = \frac{{475}}{{222}} + \frac{{11}}{6} = \frac{{147}}{{37}}} τώρα με Θ Stewart στο \vartriangle ABC έχω:

BC \cdot A{T^2} = BT \cdot A{C^2} + TC \cdot A{B^2} - BC \cdot TB \cdot TC ή

6A{T^2} = 49 \cdot \dfrac{{75}}{{37}} + 25 \cdot \dfrac{{147}}{{37}} - 5 \cdot \dfrac{{75}}{{37}} \cdot \dfrac{{147}}{{37}} ή \boxed{AT = \dfrac{{70\sqrt 7 }}{{37}}} και αφού

TS \cdot TA = TB \cdot TF \Rightarrow \left( {AT - x} \right)AT = \dfrac{{75}}{{37}}\left( {\dfrac{{75}}{{37}} + \dfrac{{13}}{6}} \right) \Rightarrow \boxed{AS = x = \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κοινή χορδή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 27, 2020 3:18 am

Γράφω και τον κύκλο \left( {A,B,C} \right). Η AS τέμνει τον κύκλο αυτό στο P και την BC στο T.

Από την γωνία υπό χορδής κι εφαπτομένης και από το εγράψιμο τετράπλευροABPC.

\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle ABS \approx \vartriangle CAS \hfill \\ 
  \vartriangle CAS \approx \vartriangle CBP \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AS}}{{CS}} \hfill \\ 
  \frac{{AS}}{{CS}} = \frac{{PB}}{{PC}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{PB}}{{PC}}}.

Άρα το τετράπλευρο ABPC είναι αρμονικό οπότε η AT είναι συμμετροδιάμεσος του \vartriangle ABC. Έτσι έχω :
Κοινή χορδή Βισβίκης_new_ok.png
Κοινή χορδή Βισβίκης_new_ok.png (30.35 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

\boxed{AT = \frac{{2bc}}{{{b^2} + {c^2}}}{m_a} = \frac{{70\sqrt 7 }}{{37}}} . Επειδή δε \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{TB}}{{TC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{25}}{{49}} \hfill \\ 
  TB + TC = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  TB = \frac{{75}}{{37}} \hfill \\ 
  TC = \frac{{147}}{{37}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. θα έχω:

Όπως πιο πάνω , \boxed{AS = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}}

Το ότι η AT είναι συμμετροδιάμεσος προκύπτει και τριγωνομετρικά.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1238
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Κοινή χορδή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Δεκ 27, 2020 3:24 pm

Ας μου επιτρέψει ο Γιώργος και ένα επιπλέον ερώτημα.
Να βρεθούν οι ακτίνες των κύκλων (K) και (L).


Altrian
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Κοινή χορδή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Δεκ 27, 2020 5:02 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Δεκ 27, 2020 3:24 pm
Ας μου επιτρέψει ο Γιώργος και ένα επιπλέον ερώτημα.
Να βρεθούν οι ακτίνες των κύκλων (K) και (L).
Μετά τις δύο εξαιρετικές λύσεις του Νίκου, προσθέτω μία λύση ακόμα:
\bigtriangleup ABS\sim \bigtriangleup ASC\Rightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{x}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow x^{2}=ab,..b=\dfrac{49}{25}a

Από Ν.Συνημιτόνων στο ABC έχω: 6^{2}=5^{2}+7^{2}-2*5*7*cos(A)\Rightarrow cos(A)=\dfrac{19}{35}

Προφανώς \angle BSC=\angle S=2\angle A\Rightarrow cos(S)=cos(2A)=2cos^{2}(A)-1=\dfrac{-503}{1225}.

Από Ν.Συνημιτόνων στο BSC έχω: 6^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(S)\Rightarrow 36=a^{2}+\dfrac{49^{2}}{25^{2}}a^{2}-2a\dfrac{49}{25}acos(S)\Rightarrow a=\dfrac{25}{4\sqrt{7}}

Επομένως b=\dfrac{49}{25}a=\dfrac{49}{4\sqrt{7}}\Rightarrow ab=x^{2}=\dfrac{25*7}{16}\Rightarrow x=\dfrac{5\sqrt{7}}{4}.

Για τα πρόσθετα ερωτήματα του Φάνη:

Εύκολα προκύπτει ότι \angle BKA=\angle S\Rightarrow 5^{2}=r_{1}^{2}+r_{1}^{2}-2r_{1}^{2}cos(S)\Rightarrow r_{1}=\dfrac{175}{24\sqrt{6}}.

Επειδή τα τρίγωνα ALC, BKA είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \dfrac{7}{5} εύκολα προκύπτει ότι r_{2}=\dfrac{7}{5}r_{1}=\dfrac{245}{24\sqrt{6}}
Συνημμένα
ΚΟΙΝΗ ΧΟΡΔΗ.png
ΚΟΙΝΗ ΧΟΡΔΗ.png (41.03 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κοινή χορδή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 29, 2020 7:05 pm

Να ευχαριστήσω τον Νίκο και τον Αλέξανδρο για τις λύσεις τους, καθώς επίσης και τον Φάνη για το εύστοχο επιπλέον

ερώτημα. Η λύση μου είναι ίδια με του Αλέξανδρου και την έχω αναρτήσει εδώ (Έχουν αλλαχτεί κάποια σημεία στο σχήμα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης