Συνεπώς παράλληλες

Γιώργος Μήτσιος · #1

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το

: 25-12 Συνεπώς παράλληλες.png (145.42 KiB) Προβλήθηκε 1098 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει περίμετρο

και με το $P \in AC$ ισχύει PC=BC=a

.

Η μεσοκάθετος του

τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα E,Z

και η

τον επανατέμνει στο

, Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$ .

Οι παραπομπές σε σχετικά θέματα ας ..καθυστερήσουν για να χαρούμε και νέες λύσεις! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 12:36 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το
25-12 Συνεπώς παράλληλες.png
Το τρίγωνο έχει περίμετρο και με το $P \in AC$ ισχύει .

Η μεσοκάθετος του τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα και η τον επανατέμνει στο , Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$ .

Οι παραπομπές σε σχετικά θέματα ας ..καθυστερήσουν για να χαρούμε και νέες λύσεις! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Συνεπώς παράλληλη.png (28.37 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Έστω $\displaystyle{T \equiv AE \cap BC}$ . Προφανώς $\displaystyle{AT}$ (λόγω του μέσου $\displaystyle{E}$ του τόξου $\displaystyle{BC}$ που δεν περιέχει το $\displaystyle{A}$ ) διχοτόμος του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και συνεπώς $\displaystyle{\dfrac{{CT}}{{BC}} = \dfrac{{AC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{AC}}{{2a}} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{CT}} = 2 = \dfrac{{PC}}{{CM}} \Rightarrow }$ $\displaystyle{PM\parallel AE \Rightarrow \angle MPC = \angle EAC = \angle EZC \Rightarrow PZCM}$ εγγράψιμο σε κύκλο και με $\displaystyle{\angle ZMC = {90^0} \Rightarrow \angle CPZ = {90^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle ENZ = {{90}^0}(EZ\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma )} EN\parallel CA}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

S.E.Louridas · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 12:36 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το
25-12 Συνεπώς παράλληλες.png
Το τρίγωνο έχει περίμετρο και με το $P \in AC$ ισχύει .
Η μεσοκάθετος του τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα και η τον επανατέμνει στο , Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$ .

Έχουμε

οπότε $AC-AB-AP=AP\Rightarrow 2AP=AC-AB,$
άρα από το δεύτερο θεώρημα του MacLaurin που αναφέρεται στην διχοτόμο

της εξωτερικής της γωνίας $\angle A$ ,
παίρνουμε ότι η

είναι κάθετη στην πλευρά AC,

δηλαδή η

είναι παράλληλη στην EN.

: 8.png (93.34 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 12:36 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το
25-12 Συνεπώς παράλληλες.png
Το τρίγωνο έχει περίμετρο και με το $P \in AC$ ισχύει .

Η μεσοκάθετος του τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα και η τον επανατέμνει στο , Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$ .

Οι παραπομπές σε σχετικά θέματα ας ..καθυστερήσουν για να χαρούμε και νέες λύσεις! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Η

τέμνει την

στο

και έστω

Προφανώς η

είναι διάμετρος, οπότε $NZ\bot NE.$

: Συνεπώς παράλληλη.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Μενέλαος στο ABC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {HPM} ,$ $\displaystyle \frac{{b - a}}{a} \cdot \frac{{MC}}{{BM}} \cdot \frac{{c + x}}{x} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{c = 2a - b} x = b - a = AP$

Άρα $\displaystyle A\widehat HP = M\widehat PC = \frac{{\widehat A}}{2} = M\widehat ZC$ δηλαδή το PZCM

είναι εγγράψιμο και $\displaystyle NZ \bot PC \Leftrightarrow$ $\boxed{NE||AC}$

#5

Ας δούμε το ισοδύναμο πρόβλημα. Αν δηλαδή $ZP \bot AC$ να δειχθεί ότι: CP = CB

.

Απόδειξη

AC//NE

ως κάθετες στην

. Το τραπέζιο ANEB

είναι ισοσκελές και άρα :

NA = EC

κι αφού

θα είναι , AN = EB

, οπότε και το τετράπλευρο

AEBN

είναι ισοσκελές τραπέζιο , θα έχει ίσες διαγώνιους , δηλαδή: AB = EN

.

Ας είναι

η προβολή του

, στην

.

: Συνεπώς παράλληλες.png (36.83 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Αβίαστα τώρα από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $PAN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TEC$

και αφού το τετράπλευρο TPNE

είναι ορθογώνιο , αν AP = TC = x

θα έχω:

$AB = NC = TP = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2x + c = b \Rightarrow 2x = b - c = b + c - 2c = 2a - 2c$ .

Συνεπώς: $x = a - c \Leftrightarrow x + c = a \Leftrightarrow CP = CB$ και το ζητούμενο έχει δειχθεί .

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα. Ευχαριστώ και πάλι τους Στάθη, Σωτήρη, Γιώργο και Νίκο για τις ωραίες επεμβάσεις τους!
Ας θέσω για απόδειξη το λήμμα που ακολουθεί, προς εξυπηρέτηση του αρχικού θέματος.

: Λήμμα .png (99.5 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Για το τρίγωνο ABC

του σχήματος ισχύει b+c=2a

. Η διάμετρος

είναι μεσοκάθετος του

.

Αν $H \in BA$ ώστε AH=AC

τότε: Να δειχθεί ότι . Φιλικά, Γιώργος.

#7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:51 am
Καλημέρα. Ευχαριστώ και πάλι τους Στάθη, Σωτήρη, Γιώργο και Νίκο για τις ωραίες επεμβάσεις τους!
Ας θέσω για απόδειξη το λήμμα που ακολουθεί, προς εξυπηρέτηση του αρχικού θέματος.
Λήμμα .png
Για το τρίγωνο του σχήματος ισχύει . Η διάμετρος είναι μεσοκάθετος του .

Αν $H \in BA$ ώστε τότε: Να δειχθεί ότι . Φιλικά, Γιώργος.

: Λήμμα_συνεπώς παράλληλες.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Από το εγγράψιμο ABCZ

έχω: $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\ \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , αλλά το τρίγωνο ZBC

είναι ισοσκελές,.

Οπότε αβίαστα: $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ . Έτσι $\vartriangle CAZ = \vartriangle HBZ \Rightarrow ZC = ZH \Rightarrow ZB = ZH$

Παρατήρηση

Για το λήμμα αυτό δεν μας χρειάζεται η συνθήκη :

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλησπέρα! Πολύ σωστά Νίκο, η συνθήκη b+c=2a

χρειάζεται μόνο
στο αρχικό θέμα του οποίου ας δούμε και την προσέγγιση που ακολουθεί

: Συνεπώς παράλληλες ΙΙ.png (140.74 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Στην προέκταση της

παίνουμε

και τότε είναι BH=2a

.

Σύμφωνα με το ως άνω λήμμα το $\triangle BZH$ είν' ισοσκελές κι' έτσι η προβολή

του

στην

είναι το μέσο της, δηλ BF=FH=a

οπότε

.

Τα τρίγωνα FAZ,PAZ

είναι λοιπόν ίσα άρα $ZP \perp AC$ και οι EN,AC

συνεπώς παράλληλες .

Φιλικά, Γιώργος.

#9

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 12:36 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το
25-12 Συνεπώς παράλληλες.png
Το τρίγωνο έχει περίμετρο και με το $P \in AC$ ισχύει .

Η μεσοκάθετος του τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα και η τον επανατέμνει στο , Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$ .

Οι παραπομπές σε σχετικά θέματα ας ..καθυστερήσουν για να χαρούμε και νέες λύσεις! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Συνεπώς παράλληλη.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Έστω $\displaystyle{N,P,M}$ η ευθεία Simpson του $\displaystyle{Z}$ του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δειχθεί ότι $\displaystyle{CP = a}$
Με $\displaystyle{Z}$ προφανώς σημείο της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\displaystyle{A}$ του $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ θα είναι $\displaystyle{AN = AP:\left( 1 \right)}$ . Από την προφανή ισότητα (υποτείνουσα – οξεία γωνία) των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle BNZ,\vartriangle CPZ}$ θα είναι: $\displaystyle{BN = CP:\left( 2 \right)}$
Είναι $\displaystyle{AB + AC = 2a \Rightarrow BN - AN + AP + CP = 2a\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} CP = a}$ και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

#10

Αφού

και αφού το

είναι μέσο του τόξου BZC

, από το αντίστροφο της σπασμένης χορδής , η

είναι κάθετη στην

κ.λπ. η παραλληλία είναι προφανής.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 25, 2020 12:36 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το
25-12 Συνεπώς παράλληλες.png
Το τρίγωνο έχει περίμετρο και με το $P \in AC$ ισχύει .

Η μεσοκάθετος του τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα και η τον επανατέμνει στο , Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$ .

Οι παραπομπές σε σχετικά θέματα ας ..καθυστερήσουν για να χαρούμε και νέες λύσεις! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλή χρονιά σε όλους

Ισχύει $b+c=2a \Rightarrow b-c=2(a-c)=2(b-a)$

Η

είναι κάθετη στη διχοτόμο

,συνεπώς

και

κι επειδή

διχοτόμος της $\angle BQC$ ,θα είναι μεσοκάθετη της

,άρα $2KC=b-c=2(b-a) \Rightarrow KC=AP$

Αλλά AZ//BQ

άρα

ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε AQ=ZB=ZC

,συνεπώς

ισοσκελές

τραπέζιο,άρα AZ=QC

και $\angle ZAC= \angle QCA$

Τώρα τα τρίγωνα AZE,QCK

είναι ίσα,άρα $ZPN\bot AC \Rightarrow EN//AC$

: επομένως παράλληλες.png (39.44 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Συνεπώς παράλληλες

Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Re: Συνεπώς παράλληλες

Μέλη σε σύνδεση