Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 02, 2020 7:01 pm

Ακαλαίσθητο  τετράπλευρο.png
Ακαλαίσθητο τετράπλευρο.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
\bigstar Το ST εφάπτεται στους δύο κύκλους . Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου SABT .

Άλλοι τίτλοι της άσκησης : Ένα κλάσμα και μια ρίζα ή Ακαλαίσθητοι αριθμοί .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 155
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Πέμ Δεκ 03, 2020 3:05 pm

20201203_144729.jpg
20201203_144729.jpg (51.83 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Έστω KD\perp SO τότε:
ST=KD=\sqrt {KO^2-OD^2}=\sqrt{36-(SO-KT)^2}=\sqrt {35}
Είναι ακόμη \sin \widehat{OKT}=\sin(180^{\circ}-   \widehat {SOK})=\sin \widehat {SOK}=\dfrac{\sqrt {35}}{6}
Έτσι (ABTS)=(OKTS)-(OAS)-(KBT)
=\frac{1}{2}[(SO+TK)ST-SO\cdot OA\cdot \sin \widehat {SOA}-TK\cdot KB\cdot \sin \widehat {BKT}]
=\frac{1}{2}(5\sqrt {35}-13\frac{\sqrt {35}}{6})

=\sqrt {35}\cdot \dfrac{17}{12}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7924
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακαλαίσθητο τετράπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 03, 2020 10:14 pm

Έστω F η τομή της KT με την από το S παράλληλη στην OK . Το τετράπλευρο OKFS είναι παραλληλόγραμμο και άρα SF = SF = OK = 6.

Προφανώς ST = d = \sqrt {{6^2} - {1^2}}  = \sqrt {35} \,\,\left( 1 \right).

Μετασχηματίζω το τετράπλευρο ABTS σε ισοδύναμο τρίγωνο .

Γι’ αυτό φέρνω από το S παράλληλη στην AT και τέμνει την OK στο P. Έτσι : \boxed{\left( {ABTS} \right) = \left( {PBT} \right)}\,\,\left( 2 \right)

Από την ομοιότητα των τριγώνων SOP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKT έχω :

\dfrac{{OP}}{{KA}} = \dfrac{{OS}}{{TK}} \Rightarrow OP = 3\dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow PB = PO + OB = \dfrac{9}{2} + 4 \Rightarrow \boxed{PB = \dfrac{{17}}{2}}\,\,\left( 3 \right)

Αρκεί λοιπόν να υπολογίσω το ύψος h από το T προς τη βάση PB.
Ακαλαίσθητο τετράπλευρο_new.png
Ακαλαίσθητο τετράπλευρο_new.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Αν M το μέσο του ST , η AM είναι διάμεσος του τραπεζίου SOKT και άρα

AM = \dfrac{{3 + 2}}{2} = \dfrac{5}{2} ,

Το εμβαδόν κάθε τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μιας των παραλλήλων πλευρών επί την απόσταση του μέσου της άλλης απ’ αυτή, έτσι εδώ :

\left( {OKTS} \right) = dAM = 6y \Rightarrow y = \dfrac{{\dfrac{5}{2}}}{6} = \dfrac{5}{{12}}d και άρα , h = \dfrac{2}{{\dfrac{5}{2}}}y \Rightarrow \boxed{h = \dfrac{1}{3}d}\,\,\left( 4 \right)

Από τις \left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right) έχω το ζητούμενο εμβαδόν \left( {ABTS} \right) = \left( {TPB} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{17}}{2} \cdot \dfrac{1}{3}d \Rightarrow \boxed{\left( {ABTS} \right) = \dfrac{{17}}{{12}}\sqrt {35} }.

Έχω και πιο μικρή σε έκταση λύση , στο πνεύμα του Μανώλη , αλλά χωρίς τριγωνομετρία.

Αυτή πάντως την αφιερώνω στον Θανάση για τους τίτλους της εκφώνησης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Τσιαλας Νικολαος και 1 επισκέπτης