Βρείτε τη γωνία χ

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

thry
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 13, 2012 3:57 am

Βρείτε τη γωνία χ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thry » Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:50 pm

AB=CD,m\angle A=100,m\angle C=20
WhatsApp Image 2020-11-26 at 6.50.42 PM.jpeg
WhatsApp Image 2020-11-26 at 6.50.42 PM.jpeg (44.13 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 27, 2020 12:33 am

Να βρεθεί η κόκκινη γωνία.png
Να βρεθεί η κόκκινη γωνία.png (19.08 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10052
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 27, 2020 10:16 am

Στην προέκταση της CA θεωρώ σημείο F ώστε BF=BA=DC και κατασκευάζω το ισόπλευρο BCE όπως φαίνεται στο σχήμα.
Γωνία χ.png
Γωνία χ.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
Είναι \displaystyle CF = CB = CE \Leftrightarrow C\widehat FE = C\widehat EF = 70^\circ  \Rightarrow B\widehat EF = 10^\circ

Από το ισοσκελές BFA είναι \displaystyle A\widehat BF = 20^\circ, οπότε τα τρίγωνα BFE, DCB είναι ίσα και \boxed{x=10^\circ}


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Νοέμ 27, 2020 5:53 pm

20201127_174730.jpg
20201127_174730.jpg (43.78 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
Θεωρούμε το σημείο D' της πλευράς AC τέτοιο ώστε \angle D'BC=10^{\circ}
Έτσι από νόμο ημιτόνων στό BD'C είναι \dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{\sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=2\cos 10^{\circ} (1)
Από νόμο ημιτόνων στο BD'A είναι:
\dfrac{BD'}{AB}=\dfrac{\sin 100^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=2\cos 
10^{\circ} (2)
Από τις (1),(2) παίρνουμε AB=CD'\Leftrightarrow CD=CD'.
Έτσι τα D,D' ταυτίζονται και η x=\angle DBC ισούται με 10^{\circ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 27, 2020 7:40 pm

Η άσκηση έχει ξανατεθεί στο :logo: και όπως τώρα εδόθη γεωμετρική λύση ( νομίζω πάλι από το φίλο μου το Γιώργο )

αλλά και τριγωνομετρική λύση αλλά όχι σαν του Μανώλη

Πάντως και οι δύο πιο πάνω λύσεις είναι πολύ ωραίες :clap2: :clap2:

Έχω μια γεωμετρική σε άλλο πνεύμα από το Γιώργο και θα ανεβεί αργότερα( αν δεν με προλάβει κάποιος άλλος )


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1955
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Νοέμ 27, 2020 8:16 pm

thry έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:50 pm
AB=CD,m\angle A=100,m\angle C=20

WhatsApp Image 2020-11-26 at 6.50.42 PM.jpeg
Σχηματίζουμε το ισοσκελές  \triangle ACE και το ισόπλευρο DCP.

Τότε ,AE=AB=DC=CP και  \angle EAC= \angle ACP=80^0,άρα AEPC ισοσκελές τραπέζιο ,

συνεπώς AP=EC=AC και  \angle PAC=20^0

Επομένως AD μεσοκάθετος της PC οπότε  \angle DAC=10^0
Εύρεση γωνίας.png
Εύρεση γωνίας.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Νοέμ 27, 2020 10:14 pm

Καλό βράδυ σε όλους!
Γωνία χ.png
Γωνία χ.png (98.28 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Είναι \widehat{ABC}=60^o . Σχηματίζω το ισόπλευρο ABE. Στο τρίγωνο AEC έχουμε \widehat{EAC}=2\widehat{C} και DC=AE

επομένως όπως ΕΔΩ προκύπτει ED=DC=AE=BE. Φανερό πλέον ότι 2x=20^o \Rightarrow x=10^o.

Φιλικά, Γιώργος.


thry
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 13, 2012 3:57 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thry » Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:45 pm

Excellent work, beautiful solutions,
thank you and I apologize, I am not good at Greek


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 30, 2020 8:54 pm

βρείτε τη γωνία χ_Μακρινός Θεματοδότης.png
βρείτε τη γωνία χ_Μακρινός Θεματοδότης.png (32.34 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Ο κύκλος \left( {B,BC} \right) τέμνει την ευθεία AC , ακόμα στο E.

Τα ισοσκελή \vartriangle BEC \to \left( {140^\circ ,20^\circ ,20^\circ } \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EAB \to \left( {20^\circ ,80^\circ ,80^\circ } \right).

Κατασκευάζω ίσο με το , \vartriangle EAB, ισοσκελές \vartriangle FDC με το F προς τη μεριά του B.

Αβίαστα προκύπτουν ότι: Το \vartriangle FBC είναι ισόπλευρο κι αφού : FB = FD = FC το περίκεντρό του,DBC είναι το F .

Η εγγεγραμμένη γωνία \boxed{\widehat {{x_{}}} = \frac{1}{2}\widehat {DFC} = 10^\circ }.

Έχω κι άλλη μία , ίσως πιο βράδυ .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία χ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 01, 2020 12:39 pm

Έστω E το σημείο τομής της AC με τη μεσοκάθετο στο BC. Άμεσες συνέπειες:

α) Το \vartriangle EBC είναι ισοσκελές με γωνίες στη βάση του BC από 20^\circ

β) Αφού \widehat {ABC} = 60^\circ , είναι και το \vartriangle ABE ισοσκελές με γωνίες στη βάση του από 40^\circ .

γ) \boxed{BE = EC = AD}

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο , KDC( το K στη μεριά του B) και τον κύκλο \left( {K,m} \right), όπου m = BA = AE = DC = CK = KD

Θεωρώ και τη χορδή CZαυτού του κύκλου ( η CZ δεν έχει κοινό σημείο με το \vartriangle KAC) και \boxed{CZ = BE}.
Να βρεθεί η κόκκινη γωνία_new.png
Να βρεθεί η κόκκινη γωνία_new.png (42.75 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Άρα \vartriangle ABE = \vartriangle KEZ \Rightarrow \widehat {{\phi _{}}} = 40^\circ  \Rightarrow \widehat {DCZ} = 60^\circ  + 40^\circ  = 100^\circ  \Rightarrow \vartriangle BAD = \vartriangle DCZ \Rightarrow \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}

Αλλά \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \frac{1}{2}\widehat {{K_{}}} = 30^\circ } , άρα και η \widehat {{\omega _{}}} που είναι εξωτερική στο \vartriangle BDC έχει μέτρο

30^\circ οπότε \widehat {{x_{}}} + 20^\circ  = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat {{x_{}}} = 10^\circ }.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες