Ώρα εφαπτομένης 64

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 64

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:17 pm

Ώρα  εφαπτομένης  64.png
Ώρα εφαπτομένης 64.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
\bigstar Προεκτείνοντας την πλευρά BA=c , του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC) κατά τμήμα : AS=\dfrac{c}{2} ,

παρατηρώ ότι : CS=2CB . Υπολογίστε την \tan\widehat{BAC} . Αν χρειαστείτε γνώσεις τριγωνομετρίας , μην διστάσετε !



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:36 pm

Με νόμο συνημιτόνων στο ABC παίρνουμε:
a^2=2c^2-2c^2\cos\theta\Leftrightarrow \dfrac{4a^2}{c^2}=8-8\cos\theta (1)
Με νόμο συνημιτόνων στο ASC παίρνουμε:
4a^2=c^2+(\frac{c}{2})^2+c^2\cos\theta\Leftrightarrow \dfrac{4a^2}{c^2}=\frac{5}{4}+\cos\theta (2)
Από τις (1),(2)\Rightarrow
 8-8\cos\theta =\frac{5}{4}+\cos\theta \Leftrightarrow \cos\theta=\dfrac{3}{4}
Έτσι \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\cos\theta}=\dfrac{\sqrt 7}{3}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 23, 2020 2:26 am

Ας είναι N το μέσο της AB . Αν θέσω \boxed{BM = MC = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = m} θα είναι :

AC = AB = 2m\,\,,\,\,SC = 4k\,\,,\,\,AN = NB = m .

Εφαρμόζω 1ο Θ. διαμέσων στα \vartriangle CSN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABC:

\left\{ \begin{gathered} 
  C{S^2} + C{N^2} = 2C{A^2} + \frac{{A{N^2}}}{2} \hfill \\ 
  C{A^2} + C{B^2} = 2C{N^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  C{N^2} = 10{m^2} - 16{k^2} \hfill \\ 
  C{N^2} = 2{k^2} + {m^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα :
Ώρα εφαπτομένης _64_ok_1.png
Ώρα εφαπτομένης _64_ok_1.png (19.1 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
{m^2} = 2{k^2} \Rightarrow C{N^2} = 4{k^2} \Rightarrow \boxed{CN = 2k} .

Δηλαδή το \vartriangle CBN είναι ισοσκελές με κορυφή το C κι αν φέρω το ύψος του CT θα

είναι , \cos \theta  = \dfrac{{AT}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\tan ^2}\theta  + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}}.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2099
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Νοέμ 23, 2020 9:55 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 64.png\bigstar Προεκτείνοντας την πλευρά BA=c , του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC) κατά τμήμα : AS=\dfrac{c}{2} ,

παρατηρώ ότι : CS=2CB . Υπολογίστε την \tan\widehat{BAC} . Αν χρειαστείτε γνώσεις τριγωνομετρίας , μην διστάσετε !
Καλημέρα και καλή εβδομάδα

Έστω

AD\perp BC,AD=\upsilon ,2\upsilon =\sqrt{4c^{2}-a^{2}},x=\dfrac{a}{c}, tan\dfrac{\theta }{2}=\dfrac{a}

{2\upsilon }=\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}},(1)

Απο το

\Theta .Stewart


στο τρίγωνο

SBC,c^{2}=2a^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},(2), (1),(2)\Rightarrow tan\theta

 =\dfrac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2-x^{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 64.png
Ωρα εφαπτομένης 64.png (42.27 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 23, 2020 10:01 am

Ώρα εφαπτομένης _65_new.png
Ώρα εφαπτομένης _65_new.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Αν φέρω τη διχοτόμο CD και M,N τα μέσα των CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS, τότε :

\boxed{BM = BD\,\,} με άμεσες συνέπειες :

Το τετράπλευρο BMND είναι ρόμβος πλευράς \boxed{m = \frac{c}{2}} με Kσημείο τομής των διαγωνίων του.

Τα τετράπλευρα MNAD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MCNA είναι παραλληλόγραμμα.

\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}} και από το \vartriangle BKC έχω : \boxed{\cos \omega  = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{\sqrt 7 }}{3}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 23, 2020 4:27 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 64.png\bigstar Προεκτείνοντας την πλευρά BA=c , του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC) κατά τμήμα : AS=\dfrac{c}{2} ,

παρατηρώ ότι : CS=2CB . Υπολογίστε την \tan\widehat{BAC} . Αν χρειαστείτε γνώσεις τριγωνομετρίας , μην διστάσετε !
Προφανώς SL \bot KL \Rightarrow SL \bot BC και BD= \dfrac{3a}{4} ,DC= \dfrac{a}{4}

Ισχύει BS^{2} -BD^2=CS^2-DC^2 \Rightarrow  \dfrac{9c^2}{4} - \dfrac{9a^2}{16} =4a^2-  \dfrac{a^2}{16}  \Rightarrow c^2=2a^2  \Rightarrow AE= \dfrac{a \sqrt{7} }{2} και tanB=\sqrt{7}

tan \theta =-tan2B \Rightarrow ...= \dfrac{ \sqrt{7} }{3}
Ώρα εφαπτομένης 64.png
Ώρα εφαπτομένης 64.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 23, 2020 5:28 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 64.png\bigstar Προεκτείνοντας την πλευρά BA=c , του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC) κατά τμήμα : AS=\dfrac{c}{2} ,

παρατηρώ ότι : CS=2CB . Υπολογίστε την \tan\widehat{BAC} . Αν χρειαστείτε γνώσεις τριγωνομετρίας , μην διστάσετε !
Φέρνω το ύψος CD και θέτω AD=x.
Ώρα εφαπτομένης.64.png
Ώρα εφαπτομένης.64.png (8.58 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
Οι παραστάσεις \displaystyle {a^2} - {(c - x)^2},{c^2} - {x^2},4{a^2} - {\left( {\frac{c}{2} + x} \right)^2} είναι όλες ίσες με CD^2. Εξισώνοντας τις δύο πρώτες

και την δεύτερη με την τρίτη προκύπτει: \displaystyle \frac{{2{c^2} - {a^2}}}{{2c}} = x = \frac{{16{a^2} - 5{c^2}}}{{4c}} \Leftrightarrow \boxed{c^2=2a^2}

Τώρα εύκολα βρίσκω \displaystyle AD = x = \frac{{3c}}{4},CD = \frac{{c\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{{\sqrt 7 }}{3}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 64

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 23, 2020 7:10 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 64.png\bigstar Προεκτείνοντας την πλευρά BA=c , του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC) κατά τμήμα : AS=\dfrac{c}{2} ,

παρατηρώ ότι : CS=2CB . Υπολογίστε την \tan\widehat{BAC} . Αν χρειαστείτε γνώσεις τριγωνομετρίας , μην διστάσετε !
Ώρα εφαπτομένης _65_new_1.png
Ώρα εφαπτομένης _65_new_1.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Γράφω τον κύκλο \left( {B,C,S} \right) που τέμνει ακόμα στο T την CA . Το τετράπλευρο STBC είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Αν θέσω , BC = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 2m\,\,\left( { = AB} \right) θα είναι : \boxed{TS = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = AT = k}.

Από Θ. Πτολεμαίου στο TSCB έχω: 2{k^2} = {m^2} και μετά από Θ συνημίτονου στο \vartriangle ABC έχω: \boxed{\cos \theta  = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{\sqrt 7 }}{3}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης