Ίσα εμβαδά

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: 22-11 Ίσα εμβαδά.png (78.64 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Το $E \in BM$ όπου

διάμεσος του τριγώνου $AB\Gamma$ . Οι $\Gamma E,AE$ τέμνουν τις $AB,B\Gamma$ στα Z,H

αντιστοίχως.

Να εξεταστεί αν $\left ( BEZ \right )=\left ( BEH \right )$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 7:07 pm
Χαιρετώ.
22-11 Ίσα εμβαδά.png
Το $E \in BM$ όπου διάμεσος του τριγώνου $AB\Gamma$ . Οι $\Gamma E,AE$ τέμνουν τις $AB,B\Gamma$ στα αντιστοίχως.

Να εξεταστεί αν $\left ( BEZ \right )=\left ( BEH \right )$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

$\dfrac{BH}{HC} . \dfrac{CM}{MA} . \dfrac{AZ}{ZB} =1 \Rightarrow \dfrac{BH}{HC} = \dfrac{BZ}{ZA} \Rightarrow ZH//AC$

$\dfrac{(BEZ)}{(BEH)} = \dfrac{ZK}{KH}= \dfrac{AM}{MC}=1$ (Θ.κεντρικής δέσμης)

: ίσα εμβαδά.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

#3

Εκτός φακέλου ; ίσως.

: ισα εμβαδά.png (28.59 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Η ευθεία

και το σημείο τομής της,

, με την

είναι μέσο της βάσης

του τραπεζίου ZHCA

.

Έτσι : $\left\{ \begin{gathered} {N_1} = {N_2} \hfill \\ {N_3} = {N_4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {N_1} + {N_3} = {N_2} + {N_4} \Rightarrow \left( {BZE} \right) = \left( {BHE} \right)$

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 7:07 pm
Χαιρετώ.
22-11 Ίσα εμβαδά.png
Το $E \in BM$ όπου διάμεσος του τριγώνου $AB\Gamma$ . Οι $\Gamma E,AE$ τέμνουν τις $AB,B\Gamma$ στα αντιστοίχως.

Να εξεταστεί αν $\left ( BEZ \right )=\left ( BEH \right )$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Ίσα εμβαδά.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Αν

είναι το σημείο τομής των BM, ZH,

τότε επειδή ZH||AC

το

θα είναι μέσο του ZH.

Άρα τα

θα ισαπέχουν από την BM,

πράγμα που αποδεικνύει ότι τα ζητούμενα εμβαδά είναι ίσα.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ! Μιχάλη, Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ θερμά!
Ας κάνουμε ακόμη ένα κόπο: Να δείξουμε την σχέση ZH//AC

χωρίς το Θ. Μενελάου.
Και πάλι ευχαριστώ, Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 9:22 pm
Καλό βράδυ! Μιχάλη, Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ θερμά!
Ας κάνουμε ακόμη ένα κόπο: Να δείξουμε την σχέση χωρίς το Θ. Μενελάου.
Και πάλι ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω τρίγωνο ABC

και

τυχαίο σημείο της διαμέσου

.

Αν οι $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ τέμνουν τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ , να δειχθεί ότι: ED//BC

.

Απόδειξη

: Λήμμα παραλληλίας.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

Τα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ ανήκουν ταυτόχρονα: είτε στα ευθύγραμμα τμήματα

$AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ , είτε στις προεκτάσεις τους προς το

, είτε στις προεκτάσεις προς τα C,A

.

Εξετάζω την πρώτη περίπτωση και ομοίως για τις δύο άλλες.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

τότε το τετράπλευρο SBTC

είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοι του διχοτομούνται .

Θα έχω έτσι : $\boxed{\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AS}}{{ST}} = \frac{{AD}}{{DC}}}$

κι αφού τα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ εσωτερικά σημεία των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ θα είναι ED//BC

.

#7

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 10:10 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 9:22 pm
Καλό βράδυ! Μιχάλη, Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ θερμά!
Ας κάνουμε ακόμη ένα κόπο: Να δείξουμε την σχέση χωρίς το Θ. Μενελάου.
Και πάλι ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω τρίγωνο και τυχαίο σημείο της διαμέσου .

Αν οι $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ τέμνουν τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ , να δειχθεί ότι: .

Στο σχήμα του Νίκου (ακριβώς πιο πάνω) , αν $\displaystyle{N \equiv AS \cap ED}$ τότε από το πλήρες τετράπλευρο $\displaystyle{AESDBC}$ προκύπτει ότι η σειρά $\displaystyle{\left( {A,N,S,M} \right)}$ είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη $\displaystyle{E.ANSM \equiv E.BDCM}$ είναι αρμονική και με $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{BC \Rightarrow ED\parallel BC}$

Ένα άλλο σκεπτικό είναι από την ευθεία Gauss του ίδιου πλήρους τετραπλεύρου (η οποία είναι προφανώς η $\displaystyle{AM}$ (το μέσο της διαγωνίου του $\displaystyle{AS}$ είναι σημείο της $\displaystyle{AM}$ ) και συνεπώς αυτή (η ευθεία Gauss) διέρχεται από το μέσο της διαγωνίου του $\displaystyle{ED}$ και συνεπώς … $\displaystyle{ED\parallel BC}$

Βέβαια πίσω από αυτά "κρύβεται" (αν το θέλει κάποιος) πάλι ο Μενέλαος

Ίσα εμβαδά

Ίσα εμβαδά

Re: Ίσα εμβαδά

Re: Ίσα εμβαδά

Re: Ίσα εμβαδά

Re: Ίσα εμβαδά

Re: Ίσα εμβαδά

Re: Ίσα εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση