Περικεκομμένη ύλη

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περικεκομμένη ύλη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 17, 2020 7:40 pm

Περικεκομμένη  ύλη.png
Περικεκομμένη ύλη.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές
\bigstar Η παράγραφος 9.7 , που ασχολείται με τις μετρικές σχέσεις στον κύκλο , είναι εκτός ύλης .

Το σημείο S βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας OA , του κύκλου (O,3) , ώστε : AS=4 .

Πως , λοιπόν , θα φέρουμε τέμνουσα SPT , ώστε το P να είναι το μέσο του τμήματος ST ,

χρησιμοποιώντας μόνον "νόμιμη" ύλη ;



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Περικεκομμένη ύλη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τρί Νοέμ 17, 2020 11:27 pm

20201117_232326.jpg
20201117_232326.jpg (22.42 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
Με όμοια τρίγωνα:
Έστω B το 2ο σημείο τομής της SA με τον κύκλο
Είναι: \angle SBT= \angle SBA από το εγγεγραμμένο APTB έτσι τα ASP και TSB \Rightarrow \dfrac{SP}{SB}=\dfrac{AS}{ST}\Leftrightarrow \dfrac{SP}{10}=\dfrac{4}{ST}
\Leftrightarrow SP\cdot ST=40
Αν P μέσο του ST τότε ST=2SP\Rightarrow 2SP^2=40\Leftrightarrow SP=\sqrt {20}=2\sqrt 5
Έτσι κατασκευάζουμε κύκλο (S,2\sqrt 5) που τέμνει τον κύκλο στα P,Q και φέρνουμε έτσι τις κατάλληλες διατέμνουσες (SPT και SQR)
*Ουσιαστικά με τα όμοια τρίγωνα που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη του SA\cdot SB=SP\cdot ST=SO^2-r^2
της παραγράφου 9.7
*Edit: διόρθωση τυπογραφικού λάθους
τελευταία επεξεργασία από Manolis Petrakis σε Τετ Νοέμ 18, 2020 9:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περικεκομμένη ύλη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 18, 2020 12:23 am

Με 1ο θεώρημα διαμέσων στο \vartriangle OTS:

\boxed{O{S^2} + O{T^2} = 2O{P^2} + \frac{{T{P^2}}}{2}} θέτω TP = 2x κι έχω: 49 + 9 = 18 + 2{x^2} \Rightarrow x = 2\sqrt 5 .

Ο κύκλος \left( {S,2\sqrt 5 } \right) τέμνει τον αρχικό σε δύο σημεία P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P' που έιναι αυτά που ζητώ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περικεκομμένη ύλη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 18, 2020 9:18 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 17, 2020 7:40 pm
Περικεκομμένη ύλη.png\bigstar Η παράγραφος 9.7 , που ασχολείται με τις μετρικές σχέσεις στον κύκλο , είναι εκτός ύλης .

Το σημείο S βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας OA , του κύκλου (O,3) , ώστε : AS=4 .

Πως , λοιπόν , θα φέρουμε τέμνουσα SPT , ώστε το P να είναι το μέσο του τμήματος ST ,

χρησιμοποιώντας μόνον "νόμιμη" ύλη ;
Έστω PS=PT=x και M μέσο του PT. Με ύλη Β Γυμνασίου.
Β' Γυμν..png
Β' Γυμν..png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
\displaystyle O{T^2} - T{M^2} = O{M^2} = O{S^2} - M{S^2} \Leftrightarrow 9 - \frac{{{x^2}}}{4} = 49 - \frac{{9{x^2}}}{4} \Leftrightarrow \boxed{x=2\sqrt 5}


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1957
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Περικεκομμένη ύλη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Νοέμ 18, 2020 5:19 pm

Απο ομοιότητα
DeepinScreenshot_Επιλέξτε περιοχή_20201118171806.png
DeepinScreenshot_Επιλέξτε περιοχή_20201118171806.png (27.37 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Περικεκομμένη ύλη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Νοέμ 18, 2020 8:31 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 17, 2020 7:40 pm
Περικεκομμένη ύλη.png\bigstar Η παράγραφος 9.7 , που ασχολείται με τις μετρικές σχέσεις στον κύκλο , είναι εκτός ύλης .

Το σημείο S βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας OA , του κύκλου (O,3) , ώστε : AS=4 .

Πως , λοιπόν , θα φέρουμε τέμνουσα SPT , ώστε το P να είναι το μέσο του τμήματος ST ,

χρησιμοποιώντας μόνον "νόμιμη" ύλη ;
Ο κύκλος (S,6) τέμνει τον κύκλο (O,3) στα B,B’ και φέρουμε τη διάμετρο BOT και B’O T’

H ST τέμνει τον κύκλο (O,3) στο P και η ST’ στο P’ ,προφανώς μέσα των ST,ST’
περικεκομένη ύλη..png
περικεκομένη ύλη..png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Περικεκομμένη ύλη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 19, 2020 7:50 am

Περικεκομμένη  ύλη  επέκταση.png
Περικεκομμένη ύλη επέκταση.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές
Υπολογίστε τώρα το SP , ώστε : PT=4


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περικεκομμένη ύλη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 9:01 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 19, 2020 7:50 am
Περικεκομμένη ύλη επέκταση.pngΥπολογίστε τώρα το SP , ώστε : PT=4
Δεν αλλάζει τίποτα.
Β. Γυμν.png
Β. Γυμν.png (12.9 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές
\displaystyle 9 - 4 = O{M^2} = 49 - {(x + 2)^2} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 44 και \boxed{x=2(\sqrt{11}-1)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης