Ώρα εφαπτομένης 63

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 63.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές

$\bigstar$ Με τα σημεία P , S

, τριχοτομήσαμε την ακτίνα OC=r

, ενός τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ .

Αν η κάθετη της

στο

διέρχεται από το

και εκείνη στο

, τέμνει την

στο

:

α) Υπολογίστε την $\tan\theta$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{SB}$ . ( Κατάλληλη και για Γυμνάσιο )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 17, 2020 11:31 am
Ώρα εφαπτομένης 63.png $\bigstar$ Με τα σημεία , τριχοτομήσαμε την ακτίνα , ενός τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ .

Αν η κάθετη της στο διέρχεται από το και εκείνη στο , τέμνει την στο :

α) Υπολογίστε την $\tan\theta$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{SB}$ . ( Κατάλληλη και για Γυμνάσιο )

Οι

τέμνουν τις OB, OA

στα

αντίστοιχα. Θέτω PT=x, SB=y,

οπότε $SN=2x, PM=\dfrac{y}{2}.$ Είναι $\displaystyle O{P^2} = \frac{{xy}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{xy = \frac{{2{r^2}}}{9}}$ (1)

: Ώρα εφαπτομένης.63.png (15.16 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

$\displaystyle {r^2} = y(y + 2x)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {r^2} = {y^2} + \frac{{4{r^2}}}{9} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{r\sqrt 5 }}{3}}$ και $\boxed{x = \frac{{2r\sqrt 5 }}{{15}}}$

Άρα, α) $\boxed{\tan \theta = \frac{x}{{OP}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}$ και β) $\boxed{\frac{x}{y} = \frac{2}{5}}$

Για Γυμνάσιο, η άσκηση αντιμετωπίζεται με όμοια τρίγωνα και Πυθαγόρειο.

Manolis Petrakis · #3

A) Με ΠΘ στο ορθογώνιο τρίγωνο SOB

παίρνουμε:
$SB^2=OB^2-OS^2=r^2-(\dfrac{2r}{3})^2=r^2\dfrac{5}{9}$
$\Leftrightarrow SB=r\dfrac{\sqrt5}{3}$
Έτσι $\tan\theta=\tan\angle OBS=\dfrac{SO}{SB}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$
B) $\tan^2\theta=\tan \angle OBS \tan \angle POT$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{5}=\dfrac{OS}{BS} \dfrac{PT}{OP}$
$\Leftrightarrow \dfrac{PT}{SB}=\dfrac{4}{5}\dfrac{OP}{OS}=\dfrac{2}{5}$

#4

Κατασκευή.

: 'Ωρα εφαπτομένης 63.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Ας είναι $\boxed{r = 6k}$ και

το μέσο της ακτίνας

. Θέτω $KP = x \Rightarrow BS = 2x$ .

Επειδή $B{S^2} = O{B^2} - O{S^2} \Rightarrow 4{x^2} = 36{k^2} - 16{k^2} \Rightarrow \boxed{x = k\sqrt 5 }$ .

Συνεπώς από το

φέρνω εφαπτομένη στο κύκλο $\left( {O,2k\sqrt 5 } \right)$ για να προκύψει η ακτίνα

.

Υπόλοιποι υπολογισμοί : $\left\{ \begin{gathered} O{P^2} = PK \cdot PT \hfill \\ \tan \theta = \frac{{PT}}{{OP}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} PT = \frac{{4k}}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \tan \theta = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \frac{{PT}}{{BS}} = \frac{{PT}}{{2x}} = \frac{2}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 17, 2020 11:31 am
Ώρα εφαπτομένης 63.png $\bigstar$ Με τα σημεία , τριχοτομήσαμε την ακτίνα , ενός τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ .

Αν η κάθετη της στο διέρχεται από το και εκείνη στο , τέμνει την στο :

α) Υπολογίστε την $\tan\theta$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{SB}$ . ( Κατάλληλη και για Γυμνάσιο )

Η εφαπτόμενη στο

τέμνει την

στο

και ισχύει

$r^2=OS . OQ= \dfrac{2r}{3}.OQ \Rightarrow OQ= \dfrac{3r}{2} \Rightarrow SQ= \dfrac{5r}{6}$

$tan^2 \theta = (\dfrac{BO}{BQ} )^2= \dfrac{OS}{SQ}= \dfrac{4}{5} \Rightarrow tan \theta = \dfrac{2}{ \sqrt{5} }$

$\triangle BSQ \simeq \triangle OPT \Rightarrow \dfrac{PT}{SB} = \dfrac{OP}{SQ}= \dfrac{ \dfrac{r}{3} }{ \dfrac{5r}{6} } = \dfrac{2}{5}$

: ώρα εφαπτομένης 63.png (57.33 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Ώρα εφαπτομένης 63

Ώρα εφαπτομένης 63

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

Μέλη σε σύνδεση