Ώρα εφαπτομένης 63

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 63

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 17, 2020 11:31 am

Ώρα  εφαπτομένης  63.png
Ώρα εφαπτομένης 63.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
\bigstar Με τα σημεία P , S , τριχοτομήσαμε την ακτίνα OC=r , ενός τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} .

Αν η κάθετη της OC στο S διέρχεται από το B και εκείνη στο P , τέμνει την OA στο T :

α) Υπολογίστε την \tan\theta ... β) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{PT}{SB} . ( Κατάλληλη και για Γυμνάσιο )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 18, 2020 12:14 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 17, 2020 11:31 am
Ώρα εφαπτομένης 63.png\bigstar Με τα σημεία P , S , τριχοτομήσαμε την ακτίνα OC=r , ενός τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} .

Αν η κάθετη της OC στο S διέρχεται από το B και εκείνη στο P , τέμνει την OA στο T :

α) Υπολογίστε την \tan\theta ... β) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{PT}{SB} . ( Κατάλληλη και για Γυμνάσιο )
Οι TP, BS τέμνουν τις OB, OA στα M, N αντίστοιχα. Θέτω PT=x, SB=y,

οπότε SN=2x, PM=\dfrac{y}{2}. Είναι \displaystyle O{P^2} = \frac{{xy}}{2} \Leftrightarrow \boxed{xy = \frac{{2{r^2}}}{9}} (1)
Ώρα εφαπτομένης.63.png
Ώρα εφαπτομένης.63.png (15.16 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
\displaystyle {r^2} = y(y + 2x)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} {r^2} = {y^2} + \frac{{4{r^2}}}{9} \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{r\sqrt 5 }}{3}} και \boxed{x = \frac{{2r\sqrt 5 }}{{15}}}

Άρα, α) \boxed{\tan \theta  = \frac{x}{{OP}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} και β) \boxed{\frac{x}{y} = \frac{2}{5}}


Για Γυμνάσιο, η άσκηση αντιμετωπίζεται με όμοια τρίγωνα και Πυθαγόρειο.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Νοέμ 18, 2020 12:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τετ Νοέμ 18, 2020 12:16 pm

A) Με ΠΘ στο ορθογώνιο τρίγωνο SOB παίρνουμε:
SB^2=OB^2-OS^2=r^2-(\dfrac{2r}{3})^2=r^2\dfrac{5}{9}
\Leftrightarrow SB=r\dfrac{\sqrt5}{3}
Έτσι \tan\theta=\tan\angle OBS=\dfrac{SO}{SB}=\dfrac{2\sqrt5}{5}
B) \tan^2\theta=\tan \angle OBS \tan \angle POT
\Leftrightarrow \dfrac{4}{5}=\dfrac{OS}{BS} \dfrac{PT}{OP}
\Leftrightarrow \dfrac{PT}{SB}=\dfrac{4}{5}\dfrac{OP}{OS}=\dfrac{2}{5}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7840
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 18, 2020 1:01 pm

Κατασκευή.
'Ωρα εφαπτομένης 63.png
'Ωρα εφαπτομένης 63.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Ας είναι \boxed{r = 6k} και K το μέσο της ακτίνας OB. Θέτω KP = x \Rightarrow BS = 2x.

Επειδή B{S^2} = O{B^2} - O{S^2} \Rightarrow 4{x^2} = 36{k^2} - 16{k^2} \Rightarrow \boxed{x = k\sqrt 5 }.

Συνεπώς από το O φέρνω εφαπτομένη στο κύκλο \left( {O,2k\sqrt 5 } \right) για να προκύψει η ακτίνα OC.

Υπόλοιποι υπολογισμοί : \left\{ \begin{gathered} 
  O{P^2} = PK \cdot PT \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{{PT}}{{OP}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  PT = \frac{{4k}}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ 
  \frac{{PT}}{{BS}} = \frac{{PT}}{{2x}} = \frac{2}{5} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2035
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 63

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Νοέμ 18, 2020 9:56 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 17, 2020 11:31 am
Ώρα εφαπτομένης 63.png\bigstar Με τα σημεία P , S , τριχοτομήσαμε την ακτίνα OC=r , ενός τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} .

Αν η κάθετη της OC στο S διέρχεται από το B και εκείνη στο P , τέμνει την OA στο T :

α) Υπολογίστε την \tan\theta ... β) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{PT}{SB} . ( Κατάλληλη και για Γυμνάσιο )
Η εφαπτόμενη στο B τέμνει την OC στο Q και ισχύει

 r^2=OS . OQ= \dfrac{2r}{3}.OQ \Rightarrow OQ= \dfrac{3r}{2}   \Rightarrow SQ= \dfrac{5r}{6}

 tan^2 \theta = (\dfrac{BO}{BQ} )^2= \dfrac{OS}{SQ}= \dfrac{4}{5} \Rightarrow tan \theta = \dfrac{2}{ \sqrt{5} }

 \triangle BSQ \simeq  \triangle OPT \Rightarrow   \dfrac{PT}{SB} = \dfrac{OP}{SQ}= \dfrac{ \dfrac{r}{3} }{ \dfrac{5r}{6} } = \dfrac{2}{5}
ώρα εφαπτομένης 63.png
ώρα εφαπτομένης 63.png (57.33 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης