Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3300
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Οκτ 26, 2020 7:13 am

shape.png
shape.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5581
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Οκτ 26, 2020 12:59 pm

Απλά μία διαπραγμάτευση επί του πιεστηρίου για να τιμήσουμε τον εισηγητή του θέματος, αλλά και να χαρούμε μετά από τέσσερις μέρες την επαναλειτουργία του my P.C. λόγω πλήρους αναβάθμισης.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο ορθογώνιο τρίγωνο BDC, που έχει κέντρο το μέσο O της BC με BC = 2\sqrt 5 , τέμνει την MC στο σημείο T.
Τότε έχουμε MO = 5. Από το θεώρημα του Πτολεμαίου (αλλά μπορεί και αλλιώς) έχουμε: 2\sqrt 5  \cdot TC = 2\sqrt {10}  + 4\sqrt {10}  \Rightarrow TC = 3\sqrt 2 .
Από την άλλη μεριά παίρνουμε \displaystyle{MC\left( {MC - 3\sqrt 2 } \right) = 20  \Rightarrow ... \Rightarrow MC = ... = 5\sqrt 2.} Επομένως \displaystyle{\left( {ABCD} \right) = 2\frac{{MC}}{2}\left( {{d_{\left( {B,MC} \right)}} + {d_{\left( {D,MC} \right)}}} \right) - \left( {BCD} \right) \Rightarrow} \left( {ADCB} \right) = 5\sqrt 2\left( {2\sqrt 2  + {\sqrt 2 } \right) - 4 = 26
mn.png
mn.png (76.17 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

edit: Διορθώθηκαν κάποιες πράξεις που ξέφυγαν λόγω ταχύτητας και γραφής κατευθείαν εδώ.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Δευ Οκτ 26, 2020 10:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7711
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 26, 2020 6:43 pm

Ας είναι T η τομή του κύκλου \left( {B,C,D} \right) με την MC.

Το τρίγωνο TBD είναι ισοσκελές ορθογώνιο με υποτείνουσα BD = 2\sqrt 5 ,

προφανώς δε η ακτίνα του κύκλου είναι R = \sqrt 5 . Από το Θ. Πτολεμαίου στο ATDC έχω: TC = 3\sqrt 2 .
Εμβαδόν τετραπλεύρου Nannos_ik.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου Nannos_ik.png (43.22 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
Από τη δύναμη του M ως προς τον κύκλο έχω:

MT\left( {MT + TC} \right) = M{O^2} - {R^2} \Rightarrow MT = 2\sqrt 2 .

Επειδή το εμβαδόν του \vartriangle BCD είναι: \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt 2 \sin 45^\circ  = 6 θα είναι \left( {BMT} \right) = 4

και ομοίως \left( {CTD} \right) = 3 \Rightarrow \left( {MTD} \right) = 2 οπότε

\left( {BMD} \right) = 4 + 2 + 5 = 11 άρα \left( {ABD} \right) = 22 και τέλος : \boxed{\left( {ABCD} \right) = 22 + 4 = 26}.
Εμβαδόν τετραπλεύρου Nannos_αποτελέσματα.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου Nannos_αποτελέσματα.png (49.67 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Οκτ 26, 2020 9:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1953
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 26, 2020 7:07 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Οκτ 26, 2020 7:13 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD
 \dfrac{(BMC)}{(MCD)}= \dfrac{BZ}{ZD}= \dfrac{BC}{CD} =2

Έστω N μέσον της BC.Τότε (NMC)=(CAM) \Rightarrow AN//MC . Είναι τότε DN=2 \sqrt{2}

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABN εύκολα παίρνουμε AN= 8 \sqrt{2}  \Rightarrow AP=8 \Rightarrow (ABN)=8

 2(AND)=AN . ND=8 \sqrt{2}  . 2 \sqrt{2}  \Rightarrow (AND)=16

και  (NCD)=2. Άρα  (ABCD)=(ABN)+(AND)+(NDC)=8+16+2=26
Εμβαδόν (ΑBCD).png
Εμβαδόν (ΑBCD).png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1991
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Οκτ 28, 2020 1:26 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Οκτ 26, 2020 7:13 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD
(ABCD)=4+\dfrac{1}{2}.b.\upsilon ,BD^{2}=20\Leftrightarrow BD=2\sqrt{5},

Είναι PO\perp BD,PO=OD=\dfrac{BD}{2}=\sqrt{5}=R,BP=PD=\sqrt{10},

Από θ.Πτολεμαίου στο

BPDC,PC=3\sqrt{2},MJ.\dfrac{b}{2}=OM^{2}-R^{2}=20\Rightarrow MJ=\dfrac{40}{b},

 MP.MC=20\Rightarrow MP=2\sqrt{2},MC=5\sqrt{2},

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο MCD,b=2\sqrt{34},

Στο τρίγωνο

BJD,MJ(MJ+JD)=20\Rightarrow JD=\dfrac{b^{2}-80}{2b},JD^{2}=\upsilon ^{2}=BD^{2}\Rightarrow 

\upsilon =11.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}, (ABD)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{34}.11.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}=22, 

(ABCD)=4+22=26
Συνημμένα
Εμβαδόν τετραπλεύρου.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου.png (52.93 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3300
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Οκτ 28, 2020 6:47 pm

Να σας ευχαριστήσω πολύ για τις λύσεις σας και να βάλω ακόμα δύο στα σχήματα που ακολουθούν!
01.png
01.png (42.42 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
02.png
02.png (35.67 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης