Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD

S.E.Louridas · #2

Απλά μία διαπραγμάτευση επί του πιεστηρίου για να τιμήσουμε τον εισηγητή του θέματος, αλλά και να χαρούμε μετά από τέσσερις μέρες την επαναλειτουργία του my P.C. λόγω πλήρους αναβάθμισης.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο ορθογώνιο τρίγωνο BDC,

που έχει κέντρο το μέσο

της

με $BC = 2\sqrt 5 ,$ τέμνει την

στο σημείο

Τότε έχουμε MO = 5.

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου (αλλά μπορεί και αλλιώς) έχουμε: $2\sqrt 5 \cdot TC = 2\sqrt {10} + 4\sqrt {10} \Rightarrow TC = 3\sqrt 2 .$
Από την άλλη μεριά παίρνουμε $\displaystyle{MC\left( {MC - 3\sqrt 2 } \right) = 20 \Rightarrow ... \Rightarrow MC = ... = 5\sqrt 2.}$ Επομένως $\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = 2\frac{{MC}}{2}\left( {{d_{\left( {B,MC} \right)}} + {d_{\left( {D,MC} \right)}}} \right) - \left( {BCD} \right) \Rightarrow}$ $\left( {ADCB} \right) = 5\sqrt 2\left( {2\sqrt 2 + {\sqrt 2 } \right) - 4 = 26$

: mn.png (76.17 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές

edit: Διορθώθηκαν κάποιες πράξεις που ξέφυγαν λόγω ταχύτητας και γραφής κατευθείαν εδώ.

#3

Ας είναι

η τομή του κύκλου $\left( {B,C,D} \right)$ με την

.

Το τρίγωνο TBD

είναι ισοσκελές ορθογώνιο με υποτείνουσα $BD = 2\sqrt 5$ ,

προφανώς δε η ακτίνα του κύκλου είναι $R = \sqrt 5$ . Από το Θ. Πτολεμαίου στο ATDC

έχω: $TC = 3\sqrt 2$ .

: Εμβαδόν τετραπλεύρου Nannos_ik.png (43.22 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχω:

$MT\left( {MT + TC} \right) = M{O^2} - {R^2} \Rightarrow MT = 2\sqrt 2$ .

Επειδή το εμβαδόν του $\vartriangle BCD$ είναι: $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt 2 \sin 45^\circ = 6$ θα είναι $\left( {BMT} \right) = 4$

και ομοίως $\left( {CTD} \right) = 3 \Rightarrow \left( {MTD} \right) = 2$ οπότε

$\left( {BMD} \right) = 4 + 2 + 5 = 11$ άρα $\left( {ABD} \right) = 22$ και τέλος : $\boxed{\left( {ABCD} \right) = 22 + 4 = 26}$ .

: Εμβαδόν τετραπλεύρου Nannos_αποτελέσματα.png (49.67 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 26, 2020 7:13 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

$\dfrac{(BMC)}{(MCD)}= \dfrac{BZ}{ZD}= \dfrac{BC}{CD} =2$

Έστω

μέσον της

.Τότε $(NMC)=(CAM) \Rightarrow AN//MC$ . Είναι τότε $DN=2 \sqrt{2}$

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABN

εύκολα παίρνουμε $AN= 8 \sqrt{2} \Rightarrow AP=8 \Rightarrow (ABN)=8$

$2(AND)=AN . ND=8 \sqrt{2} . 2 \sqrt{2} \Rightarrow (AND)=16$

και (NCD)=2

. Άρα

: Εμβαδόν (ΑBCD).png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

STOPJOHN · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 26, 2020 7:13 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

$(ABCD)=4+\dfrac{1}{2}.b.\upsilon ,BD^{2}=20\Leftrightarrow BD=2\sqrt{5},$

Είναι $PO\perp BD,PO=OD=\dfrac{BD}{2}=\sqrt{5}=R,BP=PD=\sqrt{10},$

Από θ.Πτολεμαίου στο

$BPDC,PC=3\sqrt{2},MJ.\dfrac{b}{2}=OM^{2}-R^{2}=20\Rightarrow MJ=\dfrac{40}{b}, MP.MC=20\Rightarrow MP=2\sqrt{2},MC=5\sqrt{2},$

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $MCD,b=2\sqrt{34},$

Στο τρίγωνο

$BJD,MJ(MJ+JD)=20\Rightarrow JD=\dfrac{b^{2}-80}{2b},JD^{2}=\upsilon ^{2}=BD^{2}\Rightarrow \upsilon =11.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}, (ABD)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{34}.11.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}=22, (ABCD)=4+22=26$

Ιστοσελίδα · #6

Να σας ευχαριστήσω πολύ για τις λύσεις σας και να βάλω ακόμα δύο στα σχήματα που ακολουθούν!

: 01.png (42.42 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

: 02.png (35.67 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου ABCD

Μέλη σε σύνδεση