mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 am**

Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c

, που ικανοποιούν τις συνθήκες $c \leq b \leq a < b+c$ . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ .

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο CAD

το οποίο έχει υποτείνουσα AC=b

και κάθετη πλευρά $CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο ABC

, στο οποίο AC=b

,

και η απόσταση

είναι ίση με $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ , θα έχει πλευρά AB=c

(βλ. σχήμα).

: Υπάρξεις.png (5.47 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 20, 2020 6:12 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 am
Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί , που ικανοποιούν τις συνθήκες $c \leq b \leq a < b+c$ . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ .

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει υποτείνουσα και κάθετη πλευρά $CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο , στο οποίο , και η απόσταση είναι ίση με $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ , θα έχει πλευρά (βλ. σχήμα).

Υπάρξεις.png

1) Είναι $0<c \leq b \leq a < b+c\Rightarrow a,b,c$ πλευρές τριγώνου και $\cos \widehat{C}\geq cos \widehat{B}>0$
Άρα $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \widehat{C}<a^2+b^2$
Έτσι $a^2+b^2-c^2>0\Leftrightarrow$ $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$
Ακόμη είναι: $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b\Leftrightarrow (a-b)^2<c^2 \Leftrightarrow a<b+c$ ισχύει
2)Είναι $(ABC)=\frac{1}{2}aAD=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)}\Leftrightarrow AD^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4a^2}$ όπου a,b,c

οι πλευρές του τριγώνου
$\Leftrightarrow AD^2=\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}=k^2(1)$
Άρα από Π.Θ. είναι $CD^2=b^2-AD^2=b^2-\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}$
$=\frac{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2}{4a^2}=(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a})^2$
$\Leftrightarrow CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$
3)Το εμβαδόν του ABC

(με πλευρές a,b,AB

) είναι $\frac{1}{2}aAD$ με

ύψος
Από Π.Θ. προκύπτει ότι AD=k

λόγω της (1).
Έτσι, αφού το εμβαδό του ABC

είναι ίσο με αυτό του τριγώνου του προηγουμένου ερωτήματος και τα μήκη 2 πλευρών παραμένουν σταθερά, το μήκος της τρίτης πλευράς παραμένει σταθερό: AB=c

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 21, 2020 10:17 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 am
Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί , που ικανοποιούν τις συνθήκες $c \leq b \leq a < b+c$ . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ .

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει υποτείνουσα και κάθετη πλευρά $CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο , στο οποίο , και η απόσταση είναι ίση με $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ , θα έχει πλευρά (βλ. σχήμα).

1) Η ανισότητα $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ προκύπτει εύκολα από τα δεδομένα της εκφώνησης, αφού $0< c \leq b \leq a$

Για την ανισότητα $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ έχουμε ισοδύναμα

$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$

a^2+b^2-c^2 < 2ab

(εφόσον

)

(εφόσον $a \geq b, c > 0$ )

a< b+c

Η τελευταία ισχύει από τα δεδομένα της εκφώνησης, άρα θα ισχύει και η αρχική.

2) Στο ερώτημα (1) αποδείχθηκε ότι $0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ . Άρα θα ισχύει CD < AC

. Επομένως θα υπάρχει το τρίγωνο CAD

, κατασκευάζεται από την κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα.

Κατασκευάζουμε τυχαίο κύκλο κέντου

και κατασκευάζουμε μια διάμετρό του. Διαλέγουμε τυχαίο σημείο

του κύκλου και κατασκευάζουμε ευθείες που διέρχονται από το σημείο

και τα άκρα της διαμέτρου. Οι ευθείες αυτές $\epsilon, \zeta$ είναι κάθετες. Πάνω στην ευθεία $\zeta$ κατακευάζουμε ευθύγραμμο τμήμα

μήκους $\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$ .

Με κέντρο το σημείο

κατακευάζουμε κύκλο ακτίνας

. Ο κύκλος αυτός θα τέμνει την ευθεία $\epsilon$ σε δυο σημεία, αφού $CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b$ . Έστω

ένα από αυτά. Τότε το τρίγωνο CAD

είναι το ζητούμενο κατασκευαθέν.

: υπάρξεις1.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

3) Εννοείται ότι $\angle CDA =90^0$ . Στο τρίγωνο ABC

από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε $AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot BC \cdot AC\cdot \cos \angle C$ . Όμως $CA \cdot \cos \angle C = CD$ , οπότε

$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot CD$

$\quad = a^2+b^2-2a \cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$

$\quad = c^2$

Άρα AB=c

.

mathematica.gr

Υπάρξεις

Υπάρξεις

Re: Υπάρξεις

Re: Υπάρξεις