Υπάρξεις
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Υπάρξεις
Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί , που ικανοποιούν τις συνθήκες . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:
1) .
2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει υποτείνουσα και κάθετη πλευρά (βλ. σχήμα).
3) Ένα τρίγωνο , στο οποίο , και η απόσταση είναι ίση με , θα έχει πλευρά (βλ. σχήμα).
1) .
2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει υποτείνουσα και κάθετη πλευρά (βλ. σχήμα).
3) Ένα τρίγωνο , στο οποίο , και η απόσταση είναι ίση με , θα έχει πλευρά (βλ. σχήμα).
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Υπάρξεις
1) Είναι πλευρές τριγώνου καιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 amΔίνονται τρεις θετικοί αριθμοί , που ικανοποιούν τις συνθήκες . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:
1) .
2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει υποτείνουσα και κάθετη πλευρά (βλ. σχήμα).
3) Ένα τρίγωνο , στο οποίο , και η απόσταση είναι ίση με , θα έχει πλευρά (βλ. σχήμα).
Άρα
Έτσι
Ακόμη είναι: ισχύει
2)Είναι όπου οι πλευρές του τριγώνου
Άρα από Π.Θ. είναι
3)Το εμβαδόν του (με πλευρές ) είναι με ύψος
Από Π.Θ. προκύπτει ότι λόγω της (1).
Έτσι, αφού το εμβαδό του είναι ίσο με αυτό του τριγώνου του προηγουμένου ερωτήματος και τα μήκη 2 πλευρών παραμένουν σταθερά, το μήκος της τρίτης πλευράς παραμένει σταθερό:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπάρξεις
1) Η ανισότητα προκύπτει εύκολα από τα δεδομένα της εκφώνησης, αφούAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 amΔίνονται τρεις θετικοί αριθμοί , που ικανοποιούν τις συνθήκες . Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:
1) .
2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο έχει υποτείνουσα και κάθετη πλευρά (βλ. σχήμα).
3) Ένα τρίγωνο , στο οποίο , και η απόσταση είναι ίση με , θα έχει πλευρά (βλ. σχήμα).
Για την ανισότητα έχουμε ισοδύναμα
(εφόσον )
(εφόσον )
Η τελευταία ισχύει από τα δεδομένα της εκφώνησης, άρα θα ισχύει και η αρχική.
2) Στο ερώτημα (1) αποδείχθηκε ότι . Άρα θα ισχύει . Επομένως θα υπάρχει το τρίγωνο , κατασκευάζεται από την κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα.
Κατασκευάζουμε τυχαίο κύκλο κέντου και κατασκευάζουμε μια διάμετρό του. Διαλέγουμε τυχαίο σημείο του κύκλου και κατασκευάζουμε ευθείες που διέρχονται από το σημείο και τα άκρα της διαμέτρου. Οι ευθείες αυτές είναι κάθετες. Πάνω στην ευθεία κατακευάζουμε ευθύγραμμο τμήμα μήκους .
Με κέντρο το σημείο κατακευάζουμε κύκλο ακτίνας . Ο κύκλος αυτός θα τέμνει την ευθεία σε δυο σημεία, αφού . Έστω ένα από αυτά. Τότε το τρίγωνο είναι το ζητούμενο κατασκευαθέν.
3) Εννοείται ότι . Στο τρίγωνο από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε . Όμως , οπότε
Άρα .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες