Υπάρξεις

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Υπάρξεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 am

Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c, που ικανοποιούν τις συνθήκες c \leq b \leq a < b+c. Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b.

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο CAD το οποίο έχει υποτείνουσα AC=b και κάθετη πλευρά CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο ABC, στο οποίο AC=b, BC=a και η απόσταση CD είναι ίση με \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}, θα έχει πλευρά AB=c (βλ. σχήμα).
Υπάρξεις.png
Υπάρξεις.png (5.47 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 23
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Υπάρξεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τρί Οκτ 20, 2020 6:12 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 am
Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c, που ικανοποιούν τις συνθήκες c \leq b \leq a < b+c. Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b.

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο CAD το οποίο έχει υποτείνουσα AC=b και κάθετη πλευρά CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} (βλ. σχήμα).

3) Ένα τρίγωνο ABC, στο οποίο AC=b, BC=a και η απόσταση CD είναι ίση με \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}, θα έχει πλευρά AB=c (βλ. σχήμα).
Υπάρξεις.png
1) Είναι 0<c \leq b \leq a < b+c\Rightarrow a,b,c πλευρές τριγώνου και \cos \widehat{C}\geq cos \widehat{B}>0
Άρα c^2=a^2+b^2-2ab\cos \widehat{C}<a^2+b^2
Έτσι a^2+b^2-c^2>0\Leftrightarrow 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}
Ακόμη είναι: \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b\Leftrightarrow (a-b)^2<c^2 \Leftrightarrow a<b+c ισχύει
2)Είναι (ABC)=\frac{1}{2}aAD=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)}\Leftrightarrow AD^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4a^2} όπου a,b,c οι πλευρές του τριγώνου
\Leftrightarrow AD^2=\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}=k^2(1)
Άρα από Π.Θ. είναι CD^2=b^2-AD^2=b^2-\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}
=\frac{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2}{4a^2}=(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a})^2
\Leftrightarrow CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}
3)Το εμβαδόν του ABC (με πλευρές a,b,AB) είναι \frac{1}{2}aAD με AD ύψος
Από Π.Θ. προκύπτει ότι AD=k λόγω της (1).
Έτσι, αφού το εμβαδό του ABC είναι ίσο με αυτό του τριγώνου του προηγουμένου ερωτήματος και τα μήκη 2 πλευρών παραμένουν σταθερά, το μήκος της τρίτης πλευράς παραμένει σταθερό: AB=c


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπάρξεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Οκτ 21, 2020 10:17 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Οκτ 18, 2020 12:15 am
Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί a,b,c, που ικανοποιούν τις συνθήκες c \leq b \leq a < b+c. Αποδείξτε με την σειρά τις προτάσεις:

1) 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b.

2) Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο CAD το οποίο έχει υποτείνουσα AC=b και κάθετη πλευρά CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} (βλ. σχήμα).


3) Ένα τρίγωνο ABC, στο οποίο AC=b, BC=a και η απόσταση CD είναι ίση με \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}, θα έχει πλευρά AB=c (βλ. σχήμα).
1) Η ανισότητα 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} προκύπτει εύκολα από τα δεδομένα της εκφώνησης, αφού 0< c \leq b \leq a

Για την ανισότητα  \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b έχουμε ισοδύναμα

 \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b

 a^2+b^2-c^2 < 2ab (εφόσον a>0)

(a-b)^2 < c^2

a-b < c (εφόσον a \geq b, c > 0)

a< b+c

Η τελευταία ισχύει από τα δεδομένα της εκφώνησης, άρα θα ισχύει και η αρχική.


2) Στο ερώτημα (1) αποδείχθηκε ότι 0 < \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b. Άρα θα ισχύει CD < AC. Επομένως θα υπάρχει το τρίγωνο CAD, κατασκευάζεται από την κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα.

Κατασκευάζουμε τυχαίο κύκλο κέντου O και κατασκευάζουμε μια διάμετρό του. Διαλέγουμε τυχαίο σημείο D του κύκλου και κατασκευάζουμε ευθείες που διέρχονται από το σημείο D και τα άκρα της διαμέτρου. Οι ευθείες αυτές \epsilon, \zeta είναι κάθετες. Πάνω στην ευθεία \zeta κατακευάζουμε ευθύγραμμο τμήμα DC μήκους \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}.

Με κέντρο το σημείο C κατακευάζουμε κύκλο ακτίνας b. Ο κύκλος αυτός θα τέμνει την ευθεία \epsilon σε δυο σημεία, αφού CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a} < b. Έστω A ένα από αυτά. Τότε το τρίγωνο CAD είναι το ζητούμενο κατασκευαθέν.
υπάρξεις1.png
υπάρξεις1.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές


3) Εννοείται ότι \angle CDA =90^0. Στο τρίγωνο ABC από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot BC \cdot AC\cdot \cos \angle C. Όμως CA \cdot \cos \angle C = CD, οπότε

AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot CD

\quad = a^2+b^2-2a \cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}

\quad = c^2

Άρα AB=c.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 2 επισκέπτες