12 plus

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3294
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

12 plus

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm

shape.png
shape.png (21.04 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές
Μπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: 12 plus

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Οκτ 11, 2020 9:11 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!
12 tropoi.png
12 tropoi.png (138.01 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Προφανώς AC=\sqrt{40},AD=\sqrt{5}

Φέρουμε ύψος DE=h

Απο ομοιότητα τριγώνωνCDE,ABC \frac{5}{\sqrt{40}}=\frac{h}{2}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{10}}{2}
αλλά επίσης h^{2}+y^{2}=5\Rightarrow \frac{10}{4}+y^{2}=5\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}}{2}\Rightarrow y=h\rightarrow D\widehat{A}C=45^{\circ}


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: 12 plus

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Οκτ 11, 2020 9:22 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!
Αλλη μια
12 tropoi.png
12 tropoi.png (136.19 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
Φέρουμε κάθετη από το C στο AD

Από ομοιότητα CFD,BAD\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{FD}{1}=\frac{CF}{2}\Rightarrow FD=\sqrt{5},CF=2\sqrt{5}
αρα CF=FA\Rightarrow D\widehat{A}C=45^{\circ}


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 12 plus

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Οκτ 11, 2020 9:30 pm

Μετά από καιρό...
Μια με τριγωνομετρία

Από το τρίγωνο ABC: \varepsilon \varphi {\rm A} = 3

Από το τρίγωνο ABD: \varepsilon \varphi \varphi  = \dfrac{1}{2}

\varepsilon \varphi \omega  = \varepsilon \varphi \left( {{\rm A} - \varphi } \right) = \dfrac{{\varepsilon \varphi {\rm A} - \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 + \varepsilon \varphi {\rm A}\varepsilon \varphi \varphi }} = 1

Άρα \widehat \omega  = {45^o}
Συνημμένα
12-plus.png
12-plus.png (44.65 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 12 plus

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Οκτ 11, 2020 9:51 pm

Με εμβαδά…

Από πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ABC και ABD βρίσκουμε AC = 2\sqrt {10} και AD = \sqrt 5 .

Είναι \left( {ABC} \right) = 6 και \left( {ABD} \right) = 1 (εύκολα υπολογίζονται)

\left( {ACD} \right) = \left( {ABC} \right) - \left( {ABD} \right) \Rightarrow

\dfrac{1}{2}AC \cdot AD\eta \mu \omega  = 5 \Rightarrow

\eta \mu \omega  = \dfrac{{10}}{{2\sqrt {10} \sqrt 5 }} \Rightarrow \eta \mu \omega  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat \omega  = {45^o}


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: 12 plus

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 12, 2020 1:50 am

Καλημέρα σε όλους! Με χρήση του σχήματος
12 Μ.Ν.png
12 Μ.Ν.png (94.61 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές
Το DIEB είναι τετράγωνο και KA \perp AC. 'Εχουμε tan\omega =\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow EK=1 .

Προκύπτει IK=2=AB επομένως όπως κι' ΕΔΩ \widehat{DAK}=45^o άρα και \widehat{DAC}=45^o.

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 12 plus

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 12, 2020 2:16 am

12_plus_2.png
12_plus_2.png (19.49 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Σχηματίζω το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο BCE με E στην προέκταση της BA.

Προφανώς : \widehat {{E_{}}} = 45^\circ . Ας είναι τώρα και σημείο Z του CD με DZ = DB = 1.

Επειδή : D{A^2} = {1^2} + {2^2} = 5 = 1 \cdot 5 = DZ \cdot DC η DA εφάπτεται του \left( {A,E,C} \right) που

προφανώς διέρχεται από το Z γιατί το τετράπλευρο AZCE είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Συνεπώς : \boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{E_{}}} = 45^\circ }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 12 plus

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 12, 2020 2:46 am

Η κάθετη στο A επί την AC τέμνει τη CB στο T θα είναι :
\left\{ \begin{gathered} 
  A{B^2} = BC \cdot BT \hfill \\ 
  A{T^2} = A{B^2} + B{T^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  4 = 6BT \hfill \\ 
  A{T^2} = 4 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{40}}{9} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
12_plus_3.png
12_plus_3.png (10.66 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές
Έτσι θα έχω:\left\{ \begin{gathered} 
  \dfrac{{A{C^2}}}{{A{T^2}}} = 9 \hfill \\ 
  \dfrac{{DC}}{{DT}} = \dfrac{5}{{1 + \dfrac{2}{3}}} = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AT}} = \dfrac{{DC}}{{FT}}

που μας εξασφαλίζει ότι η AD είναι διχοτόμος του ορθογωνίου τριγώνου ACT

και άρα \widehat {{\omega _{}}} = 45^\circ


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 12 plus

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 12, 2020 3:19 am

12_plus_4.png
12_plus_4.png (19.65 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές
Με διάμετρο το AC γράφω ημικύκλιο που διέρχεται από το A και τέμνει την AD\,\,\sigma \tau o\,\,S.

Είναι AD \cdot DS = DC \cdot DB \Rightarrow AD = DS = \sqrt 5

Στο ορθογώνιο τρίγωνο SAC είναι : CS = \sqrt {A{C^2} - A{S^2}}  = \sqrt {40 - 20}  = 2\sqrt 5  = SA.

Συνεπώς το τρίγωνο : SAC, είναι ισοσκελές ορθογώνιο και άρα η γωνία που ζητάμε είναι 45^\circ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 12 plus

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 12, 2020 8:51 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!
Δεν έχω διαβάσει καμία λύση, οπότε μπορεί να πέσω σε κάποια που ήδη υπάρχει.
12plus.png
12plus.png (5.11 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές
Με Π. Θ βρίσκω \displaystyle AC = \sqrt {40} ,AD = \sqrt 5 και με νόμο συνημιτόνου στο ACD, \displaystyle \cos \omega  = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \boxed{\omega=45^\circ}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 12 plus

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 12, 2020 9:21 am

Κατασκευάζω το τετράγωνο BCEZ και έστω ότι οι CA, EB τέμνονται στο P.
12plus.β.png
12plus.β.png (7.71 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές
\displaystyle \frac{{CP}}{{PA}} = \frac{6}{2} = 3 \Leftrightarrow CP = \frac{3}{4}\sqrt{40}. Αλλά, \displaystyle CP \cdot CA = \frac{3}{4}\sqrt {40}  \cdot \sqrt {40}  = 30 = CD \cdot CB

Άρα, το ABDP είναι εγγράψιμο και \boxed{\omega  = P\widehat BC = 45^\circ }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 12 plus

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 12, 2020 12:11 pm

Κάνω μεγέθυνση επί 3 και προκύπτει όμοιο σχήμα του οποίου η γωνία που ζητάμε δεν διαφοροποιείται .

Ας είναι τώρα E το συμμετρικό του B ως προς την AD και ονομάζω K το σημείο τομής των AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB.

Θέτω KD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KE = y θα ισχύουν ταυτόχρονα:
12_plus_1_extra.png
12_plus_1_extra.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  D{K^2} = E{K^2} + E{D^2} \hfill \\ 
  \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{DB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {y^2} + 9 \hfill \\ 
  \frac{{y + 6}}{6} = \frac{x}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {5,4} \right) .

Φέρνω τώρα την από το A παράλληλη στηνBC και με τα δεδομένα που έχω ισχύουν:

KC = 15 - 5 = 10\,,\,\,KA = 4 + 6 = 10 , δηλαδή: KA = KC \Leftrightarrow \widehat {{C_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}. Αλλά και \widehat {{C_{}}} = \widehat {{\omega _{}}}

Τώρα προφανές ότι \widehat {CAD} = 45^\circ


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 12 plus

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 12, 2020 2:47 pm

12_plus_7.png
12_plus_7.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές

Και μια χωρίς λόγια,( Υποβόσκει Μενέλαος )


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3294
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: 12 plus

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Οκτ 12, 2020 3:06 pm

2020-10-11_20-42-02.jpg
2020-10-11_20-42-02.jpg (26.17 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
Σας ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις σας...φυσικά μπορούν να βρεθούν και άλλες (ειδικά με τριγωνομετρία). Αφορμή της άσκησης αυτό το video.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1937
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: 12 plus

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Οκτ 12, 2020 3:50 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!
Ο κόκκινος κύκλος είναι περιγγεγραμμένος στο τρίγωνο ACD και AT\perp AD,CT\perp CB


(ACD)=5,(ACD)=\dfrac{AC.AD.DC}{4R}\Rightarrow 2R=5\sqrt{2},AC=2\sqrt{10}, AD=\sqrt{5},

TC^{2}=4R^{2}-25\Rightarrow TC=5=CD,\hat{\omega }=45^{0}

γιατί απο το εγγράψιμο τετράπλευρο

ADCT,\hat{CAD}=\hat{CTD}=\hat{\omega }
Συνημμένα
12 plus.png
12 plus.png (70.01 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: 12 plus

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Δευ Οκτ 12, 2020 5:21 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!
\displaystyle \sin \omega =\frac{2\left( ACD \right)}{AC\cdot AD}=\frac{2\cdot 5}{\sqrt{40}\sqrt{5}}=2\sqrt{\frac{5}{40}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{\omega }=45{}^\circ


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4716
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 12 plus

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Οκτ 12, 2020 6:39 pm

Καλησπέρα σε όλους.

12-10-2020 Γεωμετρία.png
12-10-2020 Γεωμετρία.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

B(0,0), D(1, 0), C(6,0), A(0,2), οπότε  \displaystyle \overrightarrow {AD}  = \left( {1, - 2} \right),\;\;\overrightarrow {AC}  = \left( {6,\; - 2} \right)

 \displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega  = \frac{{\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {40} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \omega  = 45^\circ


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1910
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: 12 plus

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 12, 2020 8:10 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!

Έστω M κέντρο του περίκυκλου του  \triangle ABC.Είναι AM= \sqrt{10},AD= \sqrt{5}

Ισχύει, BD . DC=AD . DE \Rightarrow 5= \sqrt{5}DE \Rightarrow DE=DA= \sqrt{5}  \Rightarrow MD \bot AE  και προφανώς ισχύει

 MA^2=AD . AE \Rightarrow ME \bot AB \Rightarrow  \angle  \omega =45^0
Εύρεση γωνίας.png
Εύρεση γωνίας.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1910
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: 12 plus

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 12, 2020 8:32 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 11, 2020 8:49 pm
shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές!

Με CD=DE=1 και AC=CZ το \triangle AEZ είναι ορθογώνιο ισοσκελές και E κ.βάρους του \triangle ABZ

tan \phi = \dfrac{1}{2} ,tan \theta = \dfrac{ME}{EA}= \dfrac{ME}{EZ}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow  \phi = \theta  και  \theta +x= \phi +x=45^0
Εύρεση γωνίας.png
Εύρεση γωνίας.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 12 plus

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Οκτ 12, 2020 9:29 pm

Χωρίς λόγια
Συνημμένα
12.png
12.png (9.68 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες