12 plus

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4716
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 12 plus

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Οκτ 12, 2020 9:30 pm

Με το αρχικό σχήμα.


shape.png
shape.png (21.04 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές


Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ADB,  \displaystyle AD = \sqrt 5 και στο ABC  \displaystyle AC = \sqrt {40}


Από Νόμο Ημιτόνων στο ADC,  \displaystyle \frac{5}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\eta \mu C}} \Leftrightarrow \eta \mu \omega  = \sqrt 5 \eta \mu C = \sqrt 5  \cdot \frac{2}{{\sqrt {40} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \omega  = 45^\circ



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4716
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 22 plus

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Οκτ 12, 2020 9:31 pm

Κι άλλη μία.

shape.png
shape.png (21.04 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές

Από Τριγωνομετρικό CEVA στο ABC

 \displaystyle \frac{5}{1} = \frac{{\eta \mu \omega  \cdot AC}}{{\eta \mu DAB \cdot {\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow 5 = \frac{{\eta \mu \omega \sqrt {40} }}{{\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot 2}} \Leftrightarrow \eta \mu \omega  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \Leftrightarrow \omega  = 45^\circ


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: 12 plus

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τρί Οκτ 13, 2020 12:06 am

12plus.png
12plus.png (336.32 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Εστω M μέσο του AC και E μέσο AB. Είναι \displaystyle \overrightarrow{MD}\cdot \overrightarrow{DA}=(2,-1) \cdot (1,2)=0 \Rightarrow MD\perp DA

και από Π.Θ στα τρίγωνα MFD, ADB είναι MD=AD=\sqrt{5}. Συνεπώς \angle MAD = 45^0.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 12 plus

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 13, 2020 12:15 am

12_plus_8.png
12_plus_8.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές
ν MK η απόσταση του μέσου M της AC από την BC, τα ορθογώνια τρίγωνα

BAD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KDM έχουν τις κάθετες πλευρές ίσες και έτσι θα είναι ίσα και θα έχουν:

DA = DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ADM} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{\phi _{}}} + \widehat {{\theta _{}}}} \right) = 90^\circ και άρα \boxed{\widehat {{\omega _{}}} = 45^\circ }.

Βλέπω με πρόλαβε ο Αγαπητός Γιώργης (Καλαθάκης)

Το αφήνω για τον κόπο .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 12 plus

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 13, 2020 9:33 am

Με Π.Θ είναι \displaystyle AC = 2\sqrt {10} ,AD = \sqrt 5. Έστω M το μέσο της AC.
12plus.γ.png
12plus.γ.png (7.04 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Με θεώρημα διαμέσων βρίσκω \displaystyle DM = \sqrt 5  = AD, άρα το DAM είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και \boxed{\omega=45^\circ}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 12 plus

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 13, 2020 4:20 pm

Έστω E το συμμετρικό του C ως προς D και M το μέσο του AE.
12plus.δ.png
12plus.δ.png (10.58 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
\displaystyle A{B^2} = 4 = DB \cdot BE \Leftrightarrow D\widehat AE = 90^\circ. Είναι ακόμα, AD=AM=\sqrt 5, άρα \theta=45^\circ.

Αλλά, \displaystyle DM||AC \Leftrightarrow \boxed{\omega  = \theta  = 45^\circ }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: 12 plus

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Οκτ 13, 2020 6:57 pm

Χαιρετώ και πάλι!
12 Γ ΜΝ.png
12 Γ ΜΝ.png (79.15 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
Το Z \in CB ώστε ZA \perp AC και DF \perp AZ. Βρίσκουμε AD=\sqrt{5}...AC=2\sqrt{10}

ενώ DZ=ZC/4\Rightarrow DF=AC/4=\sqrt{10}/2 . Έτσι cosa=\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{\sqrt{10}/2}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2 }\Rightarrow a=\dfrac{\pi }{4}

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11896
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: 12 plus

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 14, 2020 7:44 pm

12 plus.png
12 plus.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Το OCD είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , με : OC=OD=\sqrt{12.5} . Με Π.Θ. στο τραπέζιο OMBA ,

βρίσκω ότι και OA=\sqrt{3.5^2+0.5^2}=\sqrt{12.5} . Άρα \widehat{CAD}=45^0 , ως εγγεγραμμένη σε τόξο 90^0 .


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: 12 plus

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 15, 2020 9:39 am

Ακόμα μία
Συνημμένα
rsz_12plus.png
rsz_12plus.png (82.42 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: 12 plus

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 18, 2020 1:25 pm

Χαίρετε! Μια ακόμη (τελευταία;)
Ως γνωστόν σε τρίγωνο ABC με \widehat{A}=90^o ισχύει για την διχοτόμο \delta _{a}=\dfrac{bc\sqrt{2}}{b+c}.
Με χρήση και του σχήματος
12 .. ΜΝ.png
12 .. ΜΝ.png (86.28 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Είναι ZA \perp AC με Z \in CB.Βρίσκουμε AD=\sqrt{5}...AC=2\sqrt{10} και AZ=2\sqrt{10}/3.

Ο κύκλος (A,\sqrt{5}) τέμνει την ευθεία CB σε δύο σημεία συμμετρικά ως προς το B.

Στο ορθ. \triangle CAZ η διχοτόμος \delta _{a}=\dfrac{AC\cdot AZ\sqrt{2}}{AC+AZ}=...=\sqrt{5}=AD.

Επομένως η AD είναι κατ΄ανάγκην η διχοτόμος της \widehat{CAZ}=90^o οπότε και \widehat{CAD}=45^o.

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 12 plus

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 18, 2020 2:06 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Οκτ 12, 2020 3:06 pm
2020-10-11_20-42-02.jpgΣας ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις σας...φυσικά μπορούν να βρεθούν και άλλες (ειδικά με τριγωνομετρία). Αφορμή της άσκησης αυτό το video.
Τον κατατροπώσαμε τον τύπο στο video. :lol:


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: 12 plus

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Οκτ 18, 2020 2:32 pm

12plus.png
12plus.png (36.42 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Θυμήθηκα εκείνο το παλιό πρόβλημα με τα τρία τετράγωνα όπως στο σχήμα που λέει ότι \widehat\phi+\widehat\omega=45^\circ.
Οι δύο μπλε γωνίες είναι ίσες από ομοιότητα. Άρα και η πράσινη γωνία είναι 45^\circ..


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: 12 plus

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 21, 2020 1:16 am

Καλημέρα! Άλλη μία..
12 .. ΜΝ(1).png
12 .. ΜΝ(1).png (105.06 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές
Στην προέκταση της CA παίρνουμε το E ώστε να είναι \widehat{ADE}=\dfrac{\pi }{8}.Ως γνωστόν tan\dfrac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1, ενώ tan\omega =\dfrac{1}{3}.

Έχουμε tan\left ( \dfrac{\pi }{8}+\varphi  \right )=2\Rightarrow tan\varphi =..=\dfrac{3-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}.

Ακόμη y=\varphi -\omega \Rightarrow tany=...=\sqrt{2}-1=tan\dfrac{\pi }{8} οπότε και y=\dfrac{\pi }{8}. Άρα \widehat{CAD}=\dfrac{\pi }{4}.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης