mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 06, 2020 3:24 pm**

: shape.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 998 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και εξωτερικό σημείο

, τέτοιο ώστε DA = 3,DC = 4,DB = 5

. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 06, 2020 6:39 pm**

: Εμβαδόν τετραπλεύρου _Nannos_ok.png (29.6 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Κατασκευάζω τρίγωνο DAC

με $DA = 3\,\,,\,\,AC = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ADC} = 30^\circ$ .

Από Θ. συνημίτονου βρίσκω : $AC = \sqrt {25 - 12\sqrt 3 }$ . Επίσης ,

$\boxed{\left( {DAC} \right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sin 30^\circ = 3}$ και άρα η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του είναι :

$\boxed{R = \frac{{12AC}}{{4 \cdot 3}} = AC}$ άρα για το κέντρο του

θα είναι :

$KA = KD = KC = AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle KAC$ ισόπλευρο ίσο με το $\vartriangle ABC$ συνεπώς

κάνω μια επαλήθευση για το μήκος του

και

$\boxed{\left( {ABCD} \right) = 3 + \left( {ABC} \right) = 3 + \left( {25 - 12\sqrt 3 } \right)\frac{{\sqrt 3 }}{4}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 06, 2020 7:57 pm**

Καλησπέρα Νίκο,

Μια ιδέα για να υπολογίσουμε την $\angle ADC$
Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο ADE

. Ευκολα προκύπτει ότι $\triangle ADB=\triangle ACE\Rightarrow EC=DB=5$
Αρα το $\triangle EDC$ ορθογώνιο άρα $\angle ADC=90-60=30$ .

Μετά $a^{2}=25-12\sqrt{3}$

$(ABC)=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

(ADC)=3

Τελικά $(ABCD)=(ABC)+(ACD)=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}-6$

: εμβαδο abcd.png (32.35 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 06, 2020 8:02 pm**

Altrian έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 06, 2020 7:57 pm
Καλησπέρα Νίκο,

Μια ιδέα για να υπολογίσουμε την $\angle ADC$
Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο . Ευκολα προκύπτει ότι $\triangle ADB=\triangle ACE\Rightarrow EC=DB=5$
Αρα το $\triangle EDC$ ορθογώνιο άρα $\angle ADC=90-60=30$ .

Μετά $a^{2}=25-12\sqrt{3}$

$(ABC)=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Τελικά $(ABCD)=(ABC)+(ACD)=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}-6$

εμβαδο abcd.png

Αλέξανδρε, καλησπέρα. " Χάθηκες", αισθητή η απουσία σου , ευχάριστη η παρουσία σου . Να σε βλέπουμε πιο συχνά .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2020 10:47 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 06, 2020 3:24 pm
shape.pngΔίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και εξωτερικό σημείο , τέτοιο ώστε . Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

Μιχάλη, Νίκο και Αλέξανδρε, Καλημέρα!

: Ε(τετρ).png (11.11 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Ν. συνημιτόνων στα ABD, BDC, ADC

παίρνω: $\displaystyle \cos \theta = \frac{{34 - {a^2}}}{{30}},cos\omega = \frac{{41 - {a^2}}}{{40}},\cos (\theta + \omega ) = \frac{{25 - {a^2}}}{{24}}$

Από αυτές τις σχέσεις (μετά από πολλές πράξεις) παίρνω τη δεκτή ρίζα, $\boxed{a = \sqrt {25 - 12\sqrt 3 }}$ Τα υπόλοιπα όπως και οι προηγούμενοι.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2020 2:57 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 06, 2020 3:24 pm
shape.pngΔίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και εξωτερικό σημείο , τέτοιο ώστε . Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

Θεωρούμε τους κύκλους (D,3),(D,4),(D,5)

οπότε (βλέπε σχήμα) EC=1,BK=2

και ισχύει

$1.7=a(a+x) \Rightarrow x= \dfrac{7-a^2}{a}$ και $2.8=a(a+y) \Rightarrow y= \dfrac{16-a^2}{a}$

Επειδή $\angle PAQ=60^0 \Rightarrow PQ=3 \sqrt{3}$ και με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο PAQ