Εμβαδόν τριγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am

shape.png
shape.png (26.07 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς a και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο E, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις AB,AD στα σημεία S,T αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CTS συναρτήσει της πλευράς a.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 04, 2020 9:15 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am
shape.pngΔίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς a και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο E, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις AB,AD στα σημεία S,T αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CTS συναρτήσει της πλευράς a.
Καλημέρα!

Ο κύκλος είναι ο A-παρεγγεγραμμένος του τριγώνου ATS. Οπότε με τους συμβολισμούς του σχήματος, αν s είναι η

ημιπερίμετρος του τριγώνου, τότε \displaystyle s = \frac{a}{2} και TS=a-x-y.
Εμβαδόν τριγώνου.ΜΝ.png
Εμβαδόν τριγώνου.ΜΝ.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Άρα, \displaystyle (ATS) = (s - TS)\frac{a}{2} = \left( {x + y - \frac{a}{2}} \right)\frac{a}{2} = \frac{{a(x + y)}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}

\displaystyle (ATS) + (DTC) + (BSC) = \frac{{a(x + y)}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{a(a - x)}}{2} + \frac{{a(a - y)}}{2} = \frac{{{3a^2}}}{4}

Επομένως, \boxed{(CTS)=\dfrac{a^2}{4}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 04, 2020 10:20 am

Ας είναι M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD. Θέτω: SM = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT = y.

Ας είναι ακόμα για ευκολία πράξεων : \left( {AST} \right) = X\,\,,\,\,\left( {BCS} \right) = Y\,\,,\,\left( {DTC} \right)\, = Z\,.

Το εμβαδόν που ζητάμε είναι : \left( {TSC} \right) = {a^2} - \left( {X + Y + Z} \right)\,\,\,\left( 1 \right). Αλλά ισχύουν :
Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_1.png
Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_1.png (27.82 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές

\left\{ \begin{gathered} 
  2X = \left( {\frac{a}{2} - x} \right)\left( {\frac{a}{2} - y} \right) \hfill \\ 
  2Y = a\left( {\frac{a}{2} + x} \right) \hfill \\ 
  2Z = a\left( {\frac{a}{2} + y} \right) \hfill \\ 
  {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{2} - x} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - y} \right)^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Κάνω τις απλές πράξεις και η \left( 1 \right) δίδει : \boxed{\left( {TSC} \right) = \frac{{{a^2}}}{4}}

Θα ψάξω για πιο κομψή λύση με λιγότερες αλγεβρικές σχέσεις .

Με πρόλαβε Ο Γιώργος . Ίδια σκέψη πιο λίγες πράξεις από μένα .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 04, 2020 12:51 pm

Θέτω : AS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = y

Στο τρίγωνο ATS ο κύκλος είναι παρεγγεγραμμένος στην πλευρά TS .

Αλλά η περίμετρος του τριγώνου αυτού είναι:

TA + AS + ST = y + x + \left( {\dfrac{a}{2} - x} \right) + \left( {\dfrac{a}{2} - y} \right) = a, Δηλαδή , \boxed{x + y + TS = a}
Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_2.png
Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_2.png (23.03 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
άρα έχει εμβαδόν : \boxed{\left( {ATS} \right) = \dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} - TS} \right)}\,\,\,\left( 1 \right) .

( Από τον τύπο , \left( {ABC} \right) = {r_a}\left( {s - a} \right)\,\,\mu \varepsilon \,\,2s = a + b + c)

Εξ άλλου: \left( {TSC} \right) = \left( {ATC} \right) + \left( {ASC} \right) - \left( {TAS} \right) = \dfrac{1}{2}ya + \dfrac{1}{2}xa - \dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} - TS} \right) δηλαδή:

\left( {TSC} \right) = \dfrac{1}{2}a(x + y) - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{a}{2}TS = \dfrac{1}{2}a(a - TS) - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{a}{2}TS = \dfrac{{{a^2}}}{4}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Οκτ 04, 2020 1:46 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am
shape.pngΔίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς a και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο E, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις AB,AD στα σημεία S,T αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CTS συναρτήσει της πλευράς a.

Έστω PT=x,QS=y οπότε TS=x+y .Ακόμη OC=  \dfrac{a \sqrt{2} }{2}

Με TZ,SI \bot AC \Rightarrow TZ=   \dfrac{( \dfrac{a}{2}-x) }{2}  \sqrt{2} ,SI=\dfrac{( \dfrac{a}{2}-y) }{2}  \sqrt{2} και

4(TSC)=4(OTS)+4(OTC)+4(OCS)=...(x+y)a +a( \dfrac{a}{2}-x ) + a(  \dfrac{a}{2}-y ) =a^2 \Rightarrow (TSC)= \dfrac{a^2}{4}
Εμβαδόν.png
Εμβαδόν.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 04, 2020 10:47 pm

Ας είναι M,L,N τα μέσα των AB,BC,DA και H το σημείο τομής των LS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA.

Αν AS = x\,\,,\,\,AT = y\,\,,\,\,AH = k θα έχω: x + y + TS = a και από το Π. Θ. στο \vartriangle TAS

{x^2} + {y^2} = T{S^2} = {\left( {a - \left( {x + y} \right)} \right)^2} απ’ όπου:

y = \dfrac{{a\left( {a - 2x} \right)}}{{2\left( {a - x} \right)}} \Rightarrow \boxed{NT = \frac{a}{2} - y = \frac{{ax}}{{2\left( {a - x} \right)}}}\,\,\left( 1 \right).
Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_3.png
Εμβαδόν τριγώνου Nannos_4_10_20_oritzin_3.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνωνASH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSL\,\,έχω :

\dfrac{x}{{a - x}} = \dfrac{k}{{\dfrac{a}{2}}} \Rightarrow k = \dfrac{{ax}}{{2\left( {a - x} \right)}} και λόγω της \left( 1 \right) AH = NT \Rightarrow TH = TA + AH = TA + NT = AN = CL

και άρα το τετράπλευρο , THLC είναι παραλληλόγραμμο .

Το εμβαδόν Q = \left( {TSC} \right) είναι ίσο με το μισό του παραλληλογράμμου THLC δηλαδή :

\left( {TSC} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {THLC} \right) = \dfrac{1}{2}CL \cdot DC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a = \dfrac{{{a^2}}}{4}


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1084
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Δευ Οκτ 05, 2020 12:15 am

Στιγμιότυπο οθόνης 2020-10-04 234408.png
Στιγμιότυπο οθόνης 2020-10-04 234408.png (41.9 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
Διαγράφεται η απάντηση ως λανθασμένη
τελευταία επεξεργασία από p_gianno σε Δευ Οκτ 05, 2020 3:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Οκτ 05, 2020 12:23 am

άκυρο
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Οκτ 05, 2020 3:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 05, 2020 12:33 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Κυρ Οκτ 04, 2020 7:06 am
shape.pngΔίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς a και ο εγγεγραμμένος του κύκλος. Από τυχαίο σημείο E, του τρίτου τεταρτοκυκλίου, φέρνουμε εφαπτομένη στον κύκλο, που τέμνει τις AB,AD στα σημεία S,T αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CTS συναρτήσει της πλευράς a.
Επειδή AO=OC θα είναι (COS)=(OAS) και (COT)=(OAT).

Ακόμη,(TOS)=(OTE)+(OES=(OPT)+(OSQ)

Έτσι (CTS)=(OTA)+(OAS)+(OPT)+(OSQ)=(POQA)= \dfrac{a^2}{4}
Εύρεση εμβαδού.png
Εύρεση εμβαδού.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης