Motorola

Ιστοσελίδα · #1

: shape.jpg (27.33 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, του παραπάνω σχήματος, δίνονται:
$MA = MD = ME = MZ,\,\angle AMD = {90^0}$ και DE = 10

Να βρείτε το εμβαδόν της κυανής περιοχής.

#2

Θέτω με

.

Στο ισοσκελές τραπέζιο ADEZ

που είναι και εγγράψιμο στο κύκλο ακτίνας

η γωνία $\boxed{\widehat {AZD} = \frac{1}{2}\widehat {AKD} = 45^\circ }$ .

Ας είναι

η προβολή του

στην

, θα είναι $KA = KZ = \dfrac{{AZ\sqrt 2 }}{2} = 5\sqrt {2\,} \,\,\left( 1 \right)$ .

Σχηματίζω και το τετράγωνο AKZL

με εμβαδόν προφανώς , $\left( {AKZL} \right) = 50$ $\left( 2 \right)$

: motorola.png (28.84 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Το εμβαδόν του τριγώνου ZAD

είναι το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου ABCD

.

( ισχύει για κάθε σημείο ,

, της πλευράς

)

Επειδή όμως : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{\theta _{}}}$ ( συμπληρώματα της γωνίας $45^\circ$ ) θα είναι :

$2\left( {AKD} \right) = 2\left( {KAZ} \right) \Leftrightarrow AK \cdot AD\sin \theta = AZ \cdot AM\sin \theta$ δηλαδή ισοδύναμα

$mR\sqrt 2 \sin \theta = 10R\sin \theta \Leftrightarrow 10R\sin \theta = 10R\sin \theta$ .

Έτσι το μισό εμβαδόν που ζητάμε είναι το $\left( {KAZ} \right) = 25$ άρα το ολικό που ζητάμε είναι

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα!
Θέτω προς το παρόν σχήμα και υπόδειξη. Θα επανέλθω για την απόδειξη.

: Motorola M.N.png (164.49 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

Το τρίγωνο FED

στο σχήμα είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι διπλάσιο από το (MAD) +(AME)

και τελικά ίσο με (FED)

..

Φιλικά, Γιώργος.

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 24, 2020 6:20 pm
shape.jpgΣτο ορθογώνιο , του παραπάνω σχήματος, δίνονται:
$MA = MD = ME = MZ,\,\angle AMD = {90^0}$ και
Να βρείτε το εμβαδόν της κυανής περιοχής.

Καλησπέρα!

Μία τριγωνομετρική λύση χωρίς παρεμβάσεις στο αρχικό σχήμα. Με τους συμβολισμούς του σχήματος, αν

είναι το ζητούμενο εμβαδόν, τότε $\displaystyle S = (ABCD) - 2(MDE) \Leftrightarrow$ $\boxed{S = ax\sqrt 2 - 10x\sin \omega }$ (1)

: Motorola.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Στο τρίγωνο MDE,

είναι $\displaystyle \cos \omega = \frac{5}{x}.$ Αλλά, $\displaystyle \cos \theta = \frac{a}{{10}} \Leftrightarrow \cos (45^\circ - \omega ) = \frac{a}{{10}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \sqrt 2 \left( {\sin \omega + \cos \omega } \right) = \frac{a}{5} \Leftrightarrow 5\sqrt 2 \left( {\sin \omega + \frac{5}{x}} \right) = a \Leftrightarrow ax\sqrt 2 = 10x\sin \omega + 50\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{S=50}$

Γενικά, $\boxed{ S = \frac{{D{E^2}}}{2}}$

STOPJOHN · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 24, 2020 6:20 pm
shape.jpgΣτο ορθογώνιο , του παραπάνω σχήματος, δίνονται:
$MA = MD = ME = MZ,\,\angle AMD = {90^0}$ και
Να βρείτε το εμβαδόν της κυανής περιοχής.

Καλησπέρα

Εστω AD=b,AB=a,

, ο Κύκλος (M,MA)

τέμνει το ορθογώνιο στα σημεία E,Z

Τότε το εμβαδόν της κυανής περιοχής είναι $E_{k}=\dfrac{b}{2}(a+\sqrt{100-a^{2}}),(1),$

ακόμη είναι $EC=a-b,EC=\sqrt{100-a^{2}},$

Απο μετρικές σχέσεις στο κύκλο είναι $CI.CD=CE.CZ\Rightarrow \dfrac{b}{2}=\dfrac{50}{a+\sqrt{100-a^{2}}},(2)$

Αρα $(1),(2)\Rightarrow E_{k}=50$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ σε όλους! Επανέρχομαι για την οφειλόμενη απόδειξη

: Motorola 2 M.N.png (183.5 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο το

που διέρχεται από τα A,D,E,Z

. Είναι $\widehat{AMD}=90^{0}\Rightarrow \widehat{AED}=45^{0}$ .

Η κάθετη της

στο

τέμνει την

στο

και τον κύκλο στο

.Η

είναι διάμετρος και $\widehat{F}=45^{0}$ ,
έτσι τα τρίγωνα FED

και

είναι ορθογώνια και ισοσκελή.

Είναι φανερό ότι το (AED)

είναι το μισό του (ABCD)

ενώ και

.
Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι διπλάσιο από το (MAD) + (AME)

.

Φέρουμε τα ύψη

και

. Το

είναι και διάμεσος άρα AH=FT/2

.
Ακόμη στο τρίγωνο DET

το

είναι το μέσον της

ενώ $MN \perp DE \Rightarrow MN \parallel DT$ , άρα MN=DT/2

.
Με πρόσθεση παίρνουμε AH+MN=DF/2=DE/2

.

Τότε $\left ( FAD \right )+\left ( MED \right )=\left ( AH+MN \right )DE/2=DE^{2}/4=\left ( FED \right )/2$ οπότε και $\left ( MAD \right )+\left ( AME \right )=\left ( FED \right )/2$ και αυτό που ζητάμε είναι είναι ίσο με $(FED)=DE^{2}/2$ , δηλ. ίσο με

για

.

Φιλικά, Γιώργος.

Motorola

Motorola

Re: Motorola

Re: Motorola

Re: Motorola

Re: Motorola

Re: Motorola

Μέλη σε σύνδεση