Μονόπλευρη

KARKAR · #1

: Μονόπλευρη.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Ο έγκυκλος (O , 3)

, του τριγώνου ABC

, εφάπτεται της

σε σημείο

, τέτοιο ώστε :

BS=5 , SC=9

. Υπολογίστε τις πλευρές

και

, καθώς και το εμβαδόν του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 07, 2020 10:18 am
Μονόπλευρη.pngΟ έγκυκλος , του τριγώνου , εφάπτεται της σε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Υπολογίστε τις πλευρές και , καθώς και το εμβαδόν του .

: Μονόπλευρη.png (14.07 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Με Πυθαγόρειο βρίσκω $\displaystyle OB = \sqrt {34} ,OC = \sqrt {90}$ και με νόμο συνημιτόνου στο OBC,

$\displaystyle 196 = 124 - 6\sqrt {340} \cos \left( {90^\circ + \frac{A}{2}} \right) \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{{12}}{{\sqrt {340} }} \Leftrightarrow \frac{3}{{AO}} = \frac{{12}}{{\sqrt {340} }} \Leftrightarrow AO = \frac{{\sqrt {340} }}{4}$

Τέλος με Π. Θ, $\displaystyle {x^2} = \frac{{340}}{{16}} - 9 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \Rightarrow$ $\boxed{AB=\dfrac{17}{2}, AC=\dfrac{25}{2}}$ και $\boxed{(ABCD)=sr=\dfrac{105}{2}}$

#3

: Μονόπλευρη.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Η ημιπερίμετρος $s = 14 + x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left\{ \begin{gathered} a = 14 \hfill \\ b = 9 + x = s - 5 \hfill \\ c = 5 + x = s - 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Αν $E = \left( {ABC} \right)$ θα έχω:

$E = 3s = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$ και έτσι: $s = 5(s - 14) \Rightarrow \boxed{s = \frac{{35}}{2}}$ .

Συνεπώς : $\boxed{x = \frac{7}{2}}$ και $\left\{ \begin{gathered} a = 14 \hfill \\ b = \frac{{25}}{2} \hfill \\ c = \frac{{17}}{2} \hfill \\ E = \frac{{105}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

#4

Αλλιώς.

: Μονόπλευρη.β.png (14.29 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές

$\displaystyle \tan \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{C}{2}} \right) = \dfrac{{\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{5}}} = \dfrac{7}{6} \Leftrightarrow \cot \dfrac{A}{2} =\dfrac{7}{6} \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{7}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{7}{2}}$ , κλπ.

nickchalkida · #5

Παρατηρώ ότι το

είναι και σημείο της υπερβολής με εστίες τα σημεία

,

που διέρχεται από το

.
Βρίσκω διαδοχικά τότε

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & a= 2 \cr & c= 7 \cr & b^2 = c^2 - a^2 = 45 \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {x^2 \over 4} + {y^2 \over 45} = 1 \cr }$

είναι η εξίσωση της υπερβολής. Αν $\phi$ η γωνία ACB

τότε

$\displaystyle{ cos(\phi) = cos(2 \cdot arctan{{1\over 3}}) = {1 - {1\over 9} \over 1 + {1\over 9}} = {8 \over 10} }$

Αν τώρα e=c/a

και

τότε
η εξίσωση της υπερβολής σε πολικές συντεταγμένες είναι (ο

άξονας επί μιας εστίας)

$\displaystyle{ r = {pe \over 1 - e \cdot cos\theta} }$

Αντικαθιστώντας κατάλληλες τιμές βρίσκω

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} & AC = {-pe \over 1 - e \cdot cos\phi} = {{45\over 7}{7\over 2} \over 1 - {7\over 2} \cdot {8 \over 10} } = 12.5 \cr & AB = AC - 4 = 8.5 \cr & AD = AC \cdot sin\phi = 7.5 \cr & E = {1\over 2} \cdot 14 \cdot 7.5 = 52.5 \cr \end{aligned} \right. }$

Μονόπλευρη

Μονόπλευρη

Re: Μονόπλευρη

Re: Μονόπλευρη

Re: Μονόπλευρη

Re: Μονόπλευρη

Μέλη σε σύνδεση