Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3304
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Σεπ 04, 2020 2:10 pm

shape.png
shape.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD, του παραπάνω σχήματος, όταν: AM = MD,\,AB = CM = 1 και \angle ABC = 3\angle DCM = {90^0}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7797
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 04, 2020 7:36 pm

Εμβαδόν ABCD.png
Εμβαδόν ABCD.png (45.46 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Γράφω τον κύκλο \left( {M,1} \right) και έστω S το αντιδιαμετρικό του C. Προφανώς SA//DC και το SACD είναι παραλληλόγραμμο. Άρα \boxed{\widehat {{S_{}}} = 30^\circ }
.
Το ημικύκλιο διαμέτρου AC τέμνει την SA, ακόμα , στο T. Ενώ η BCτέμνει την AT στο K

Το εγγράψιμο τετράπλευρο ABTC είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα :

\left\{ \begin{gathered} 
  TC = AB = 1\,\, \hfill \\ 
  \left( {ABK} \right) = \left( {TCK} \right) \hfill \\ 
  \left( {DMC} \right) = \left( {AMS} \right)\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. έτσι \boxed{\left( {ABCD} \right) = \left( {STC} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1970
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Σεπ 04, 2020 8:01 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Παρ Σεπ 04, 2020 2:10 pm
shape.pngΝα βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD, του παραπάνω σχήματος, όταν: AM = MD,\,AB = CM = 1 και \angle ABC = 3\angle DCM = {90^0}

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο MEC οπότε EC \bot DC κι έστω N μέσον της AC

Επειδή MN//DCMN είναι μεσοκάθετη της EC άρα  NE=NC=AN \Rightarrow AE \bot EC και

προφανώς ABEC ισοσκελές τραπέζιο ,άρα  (ABC)=(AEC) \Rightarrow (ABCD)=(AECD)

Όμως  AECD τραπέζιο οπότε (γνωστό) (AECD)=2(MEC)=2 \dfrac{ \sqrt{3} }{4} = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} =(ABCD)
Εμβαδόν τετραπλεύρου.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου.png (8.26 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7797
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 04, 2020 11:29 pm

Κατασκευή
κατασκευή του εμβαδύ ABCD.png
κατασκευή του εμβαδύ ABCD.png (32.73 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Έστω το ορθογώνιο στο B , τρίγωνο ABC με μονάδα μέτρησης AB = 1.

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου AC και φέρνω παράλληλη από το B προς την AC

και τέμνει ακόμα το ημικύκλιο στο T.

Ο κύκλος \left( {C,2AB} \right) \equiv \left( {C,2} \right) και τέμνει την ημιευθεία TA στο S.

Θεωρώ το μέσο M του CS. Το συμμετρικό D του A ως προς το M μας ορίζει την

τέταρτη κορυφή του τετραπλεύρου ABCD.

Είναι : \left( {ABCD} \right) = \left( {AKCM} \right) + N + Y = \left( {AKCM} \right) + X + E = \left( {TSC} \right) = \dfrac{{TC \cdot TS}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Σεπ 16, 2020 10:31 pm

7.png
7.png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Από το τρίγωνο MPC έχω MP=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AN=1.
Επίσης από το ίδιο τρίγωνο έχω a+b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Προφανώς \triangle ABC=\triangle ANC\Rightarrow BC=2a+b.
Όμως (ABCD)=(ABC)+(ADC)=\dfrac{AB\cdot BC}{2}+\dfrac{AN\cdot DC}{2}=a+b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7797
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδό τετραπλεύρου ABCD

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 16, 2020 11:11 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τετ Σεπ 16, 2020 10:31 pm
7.png


Από το τρίγωνο MPC έχω MP=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AN=1.
Επίσης από το ίδιο τρίγωνο έχω a+b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Προφανώς \triangle ABC=\triangle ANC\Rightarrow BC=2a+b.
Όμως (ABCD)=(ABC)+(ADC)=\dfrac{AB\cdot BC}{2}+\dfrac{AN\cdot DC}{2}=a+b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Σε φόρμα σαν τον ΠΑΟΚ ο Φάνης , :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες