Τμήμα και γωνία

#1

: Τμήμα σε τραπέζιο.png (8.14 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών ισοσκελούς τραπεζίου ABCD

με

και

Αν

είναι το σημείο τομής των BD, MN,

να υπολογίσετε συναρτήσει του

το μήκος του τμήματος

και να βρείτε τη γωνία $A\widehat BD.$

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

StamatisGoudis · #3

Καταρχάς, αφού η MN είναι διάμεσος του ABCD είναι: $MN\parallel AB, CD$ και $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{3a}{2}$

Στο $\Delta BCD$ η NT είναι παράλληλη στη CD και διέρχεται από το μέσο N της BC. Επομένως, το Τ είναι μέσο της BD και
$NT\parallel =\frac{CD}{2}=a$
Άρα $NT\parallel =AB$ , δηλαδή το ABNT είναι παραλληλόγραμμο, απ’ όπου $AT=BN=\frac{BC}{2}$

Τώρα, από το Θ. Πτολεμαίου στο ABCD (ισοσκελές τραπέζιο, άρα και εγγράψιμο): $AC\times BD= AB\times CD + AD\times BC \Rightarrow AD^{2}=BC^{2}=9a^{2}-2a^{2}=7a^{2} \Rightarrow BC=a\sqrt{7} \Rightarrow AT= \frac{a\sqrt{7}}{2}$

Τέλος, από τον Ν. Συνημιτόνων στο $\Delta ABT$ :
$AT^{2}=AB^{2}+BT^{2}-2AB\times BT\times \cos\angle ABT \Rightarrow 2\times \frac{3a^{2}}{2}cos\angle ABT= \frac{9a^{2}}{4} + a^{2} - \frac{7a^{2}}{4} \Rightarrow 3a^{2} cos\angle ABT= \frac{6a^{2}}{4} \Rightarrow cos\angle ABT=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle ABT = 60^{\circ}$

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 26, 2020 7:56 pm
Τμήμα σε τραπέζιο.png
είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών ισοσκελούς τραπεζίου με και

Αν είναι το σημείο τομής των να υπολογίσετε συναρτήσει του το μήκος του τμήματος και να βρείτε τη γωνία $A\widehat BD.$

Καλησπέρα μόνο για τη κατασκευη και η αιτιολογηση εχει γραφτεί απο το Stamatis

Γράφουμε το κύκλο (D,3a)

γιατί

,

είναι $DL=LC=CN=a,TL=TC=\dfrac{a}{2}$ ,στο σημείο

Κατασκευάζουμε τη κάθετο $TB\perp DN$ και ορίζουμε το σημείο

στη συνέχεια AB//DC,LB//AD

Τμήμα και γωνία

Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Μέλη σε σύνδεση