Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιούλ 20, 2020 1:18 am

Καλή εβδομάδα.
20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png
20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png (122.81 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές
Στο σχήμα το M είναι το μέσον του τεταρτοκυκλίου , το N \in OB και E η τομή των AN,OM.

Αν είναι \widehat{NAO}=\dfrac{1}{3}\widehat{MAO} τότε: Να δειχθεί ότι EM=BN

Να τονίσω ότι αφετηρία για τη δημιουργία του παρόντος στάθηκε παλαιό θέμα που δέχθηκε ήδη πάνω 4500 προβολές!

Ας μη βιαστούμε να παραπέμψουμε σ' εκείνο. Σκοπός είναι η εμφάνιση νέων ιδεών-λύσεων!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 20, 2020 7:49 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 1:18 am
Καλή εβδομάδα.
20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png
Στο σχήμα το M είναι το μέσον του τεταρτοκυκλίου , το N \in OB και E η τομή των AN,OM.

Αν είναι \widehat{NAO}=\dfrac{1}{3}\widehat{MAO} τότε: Να δειχθεί ότι EM=BN

Να τονίσω ότι αφετηρία για τη δημιουργία του παρόντος στάθηκε παλαιό θέμα που δέχθηκε ήδη πάνω 4500 προβολές!

Ας μη βιαστούμε να παραπέμψουμε σ' εκείνο. Σκοπός είναι η εμφάνιση νέων ιδεών-λύσεων!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος
Γιώργο, Καλημέρα. Δεν γνωρίζω ποιο είναι το θέμα που παραπέμπεις, οπότε κάνω νεα αρχή:

Αν \angle OAE=\theta τότε \angle EAM=2\theta και άρα \angle OAM=\angle AOM=3\theta. Συνεπώς στο τρίγωνο AOM είναι 3\theta + 3\theta +45 = 180, οπότε \theta = 45/2. Άρα από το OAN είναι \angle ONA=90-\theta = 135/2 και από το OAE είναι OEN=45+ \theta =45+45/2=135/2= \angle ONA. Συνεπώς το OAE είναι ισοσκελές με ON=OE και άρα EM=R-OE=R-ON=NB, όπως θέλαμε.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10452
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 20, 2020 8:04 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Ιούλ 20, 2020 1:18 am
Καλή εβδομάδα.
20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png
Στο σχήμα το M είναι το μέσον του τεταρτοκυκλίου , το N \in OB και E η τομή των AN,OM.

Αν είναι \widehat{NAO}=\dfrac{1}{3}\widehat{MAO} τότε: Να δειχθεί ότι EM=BN

Να τονίσω ότι αφετηρία για τη δημιουργία του παρόντος στάθηκε παλαιό θέμα που δέχθηκε ήδη πάνω 4500 προβολές!

Ας μη βιαστούμε να παραπέμψουμε σ' εκείνο. Σκοπός είναι η εμφάνιση νέων ιδεών-λύσεων!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος
Καλή εβδομάδα!
Ίσα από τριχοτόμηση.png
Ίσα από τριχοτόμηση.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές
N\widehat AM=N\widehat OM=45^\circ, άρα το OAMN είναι εγγράψιμο και οι υπόλοιπες γωνίες που φαίνονται στο σχήμα είναι προφανείς, οπότε τα τρίγωνα AEM, MBN είναι ίσα και EM=BN.


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Δευ Ιούλ 20, 2020 11:59 am

Καλημέρα, δεν εχω δει το θέμα οπότε πιθανό να επαναλαμβάνω την λύση:
Θέτω \widehat{OAN}=\vartheta και K\equiv AB\cap OM

Απο το ισοσκελές τρίγωνο OAM, έχω : 6\vartheta +45^{\circ}=180^{\circ}\Leftrightarrow 2\vartheta =45^{\circ}\Leftrightarrow 3\vartheta =45^{\circ}+\vartheta, δηλαδή το τρίγωνο AEM είναι
ισοσκελές, οπότε προκύπτουν \widehat{OAN}=\widehat{NAB}=\widehat{BAM}=\vartheta και KE=KM

Με θ.διχοτόμου στα τρίγωνα AOK και AOB έχω αντίστοιχα τις σχέσεις:

\dfrac{EO}{EK}=\dfrac{AO}{AK} και \dfrac{NB}{NO}=\dfrac{AB}{AO}, απο τις οποίες, με πολλαπλασιασμό κατα μέλη παίρνω :
\dfrac{EO}{EK}\cdot \dfrac{NB}{NO}=\dfrac{AO}{AK}\cdot \dfrac{AB}{AO}\Leftrightarrow \dfrac{NB}{NO}=\dfrac{2\cdot \dfrac{EM}{2}}{EO}=\dfrac{EM}{EO}\Leftrightarrow\boxed{ EM=NB}
Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση.png
Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση.png (31.32 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10452
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 20, 2020 5:27 pm

Άλλη μία με Α' Λυκείου.
Ίσα από τριχοτόμηση.β.png
Ίσα από τριχοτόμηση.β.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές
\displaystyle M\widehat BO = A\widehat NO = 67,5^\circ  \Leftrightarrow MB||AN κι επειδή OB=OM θα είναι ME=BN.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 21, 2020 8:25 am

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους αγαπητούς Μιχάλη και Γιώργο, ασφαλώς και τον νεαρό Θεοδόση για τις κομψές λύσεις τους!
Με γνωστές τις γωνίες τα πράγματα είναι φανερά κι' απλά. Μια ελαφρά παραλλαγή
21-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png
21-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png (150.44 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
Λόγω των ίσων γωνιών το MENB είναι εγγράψιμο τραπέζιο άρα και ισοσκελές.

Σε επόμενη δημοσίευση θα ..ανασύρω στην επιφάνεια το παλαιό σχετικό θέμα.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες