Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή εβδομάδα.

: 20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png (122.81 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Στο σχήμα το

είναι το μέσον του τεταρτοκυκλίου , το $N \in OB$ και

η τομή των AN,OM

.

Αν είναι $\widehat{NAO}=\dfrac{1}{3}\widehat{MAO}$ τότε: Να δειχθεί ότι

Να τονίσω ότι αφετηρία για τη δημιουργία του παρόντος στάθηκε παλαιό θέμα που δέχθηκε ήδη πάνω 4500

προβολές!

Ας μη βιαστούμε να παραπέμψουμε σ' εκείνο. Σκοπός είναι η εμφάνιση νέων ιδεών-λύσεων!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 20, 2020 1:18 am
Καλή εβδομάδα.
20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png
Στο σχήμα το είναι το μέσον του τεταρτοκυκλίου , το $N \in OB$ και η τομή των .

Αν είναι $\widehat{NAO}=\dfrac{1}{3}\widehat{MAO}$ τότε: Να δειχθεί ότι

Να τονίσω ότι αφετηρία για τη δημιουργία του παρόντος στάθηκε παλαιό θέμα που δέχθηκε ήδη πάνω προβολές!

Ας μη βιαστούμε να παραπέμψουμε σ' εκείνο. Σκοπός είναι η εμφάνιση νέων ιδεών-λύσεων!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος

Γιώργο, Καλημέρα. Δεν γνωρίζω ποιο είναι το θέμα που παραπέμπεις, οπότε κάνω νεα αρχή:

Αν $\angle OAE=\theta$ τότε $\angle EAM=2\theta$ και άρα $\angle OAM=\angle AOM=3\theta$ . Συνεπώς στο τρίγωνο AOM

είναι $3\theta + 3\theta +45 = 180$ , οπότε $\theta = 45/2$ . Άρα από το OAN

είναι $\angle ONA=90-\theta = 135/2$ και από το OAE

είναι $OEN=45+ \theta =45+45/2=135/2= \angle ONA$ . Συνεπώς το OAE

είναι ισοσκελές με ON=OE

και άρα

, όπως θέλαμε.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 20, 2020 1:18 am
Καλή εβδομάδα.
20-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png
Στο σχήμα το είναι το μέσον του τεταρτοκυκλίου , το $N \in OB$ και η τομή των .

Αν είναι $\widehat{NAO}=\dfrac{1}{3}\widehat{MAO}$ τότε: Να δειχθεί ότι

Να τονίσω ότι αφετηρία για τη δημιουργία του παρόντος στάθηκε παλαιό θέμα που δέχθηκε ήδη πάνω προβολές!

Ας μη βιαστούμε να παραπέμψουμε σ' εκείνο. Σκοπός είναι η εμφάνιση νέων ιδεών-λύσεων!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος

Καλή εβδομάδα!

: Ίσα από τριχοτόμηση.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

$N\widehat AM=N\widehat OM=45^\circ,$ άρα το OAMN

είναι εγγράψιμο και οι υπόλοιπες γωνίες που φαίνονται στο σχήμα είναι προφανείς, οπότε τα τρίγωνα AEM, MBN

είναι ίσα και EM=BN.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Καλημέρα, δεν εχω δει το θέμα οπότε πιθανό να επαναλαμβάνω την λύση:
Θέτω $\widehat{OAN}=\vartheta$ και $K\equiv AB\cap OM$

Απο το ισοσκελές τρίγωνο OAM

, έχω : $6\vartheta +45^{\circ}=180^{\circ}\Leftrightarrow 2\vartheta =45^{\circ}\Leftrightarrow 3\vartheta =45^{\circ}+\vartheta$ , δηλαδή το τρίγωνο AEM

είναι
ισοσκελές, οπότε προκύπτουν $\widehat{OAN}=\widehat{NAB}=\widehat{BAM}=\vartheta$ και KE=KM

Με θ.διχοτόμου στα τρίγωνα AOK

και

έχω αντίστοιχα τις σχέσεις:

$\dfrac{EO}{EK}=\dfrac{AO}{AK}$ και $\dfrac{NB}{NO}=\dfrac{AB}{AO}$ , απο τις οποίες, με πολλαπλασιασμό κατα μέλη παίρνω :
$\dfrac{EO}{EK}\cdot \dfrac{NB}{NO}=\dfrac{AO}{AK}\cdot \dfrac{AB}{AO}\Leftrightarrow \dfrac{NB}{NO}=\dfrac{2\cdot \dfrac{EM}{2}}{EO}=\dfrac{EM}{EO}\Leftrightarrow\boxed{ EM=NB}$

: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση.png (31.32 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

#5

Άλλη μία με Α' Λυκείου.

: Ίσα από τριχοτόμηση.β.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

$\displaystyle M\widehat BO = A\widehat NO = 67,5^\circ \Leftrightarrow MB||AN$ κι επειδή OB=OM

θα είναι

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους αγαπητούς Μιχάλη και Γιώργο, ασφαλώς και τον νεαρό Θεοδόση για τις κομψές λύσεις τους!
Με γνωστές τις γωνίες τα πράγματα είναι φανερά κι' απλά. Μια ελαφρά παραλλαγή

: 21-7 Τριχοτόμηση σε τεταρτοκύκλιο.png (150.44 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Λόγω των ίσων γωνιών το MENB

είναι εγγράψιμο τραπέζιο άρα και ισοσκελές.

Σε επόμενη δημοσίευση θα ..ανασύρω στην επιφάνεια το παλαιό σχετικό θέμα.

Φιλικά, Γιώργος.

Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Re: Ίσα τμήματα από τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση