Ισοσκελές τρίγωνο-2

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ισοσκελές τρίγωνο-2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 15, 2020 7:44 pm

Ισοσκελές τρίγωνο-2.png
Ισοσκελές τρίγωνο-2.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
\bigstar Οι διάμεσοι BD, CE τριγώνου ABC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα Z, H αντίστοιχα.

Αν DZ=EH να δείξετε ότι το ABC είναι ισοσκελές τρίγωνο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6322
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ισοσκελές τρίγωνο-2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Ιούλ 15, 2020 10:03 pm

Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών βρίσκουμε αμέσως ότι

\displaystyle{DZ=\frac{b^2}{4m_b},~~EH=\frac{c^2}{4m_c}.}

Δεδομένου ότι ισχύει η ισοδυναμία \displaystyle{x\geq y\iff m_x\leq m_y,} έχουμε

\displaystyle{DZ=EH\implies \frac{b^2}{m_b}=\frac{c^2}{m_c}\implies \left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{m_b}{m_c}}.

Επομένως είναι

\displaystyle{b\geq c\iff \left(\frac{b}{c}\right)^2 \geq 1\iff \frac{m_b}{m_c} \geq 1\iff m_b\geq m_c\iff b\leq c.}

Δηλαδή \displaystyle{\boxed{b=c}}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης