Ώρα εφαπτομένης 45

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 45

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 13, 2020 7:48 pm

Ώρα  εφαπτομένης  45.png
Ώρα εφαπτομένης 45.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=3 , το S είναι σημείο του περικύκλου του

και ανήκει στο ημικύκλιο που δεν ανήκει το A . Φέροντας : SP\perp AB , SM\perp BC ,ST\perp AC ,

δημιουργείται το ευθύγραμμο τμήμα PMT . Αν το M είναι το μέσο του PT , υπολογίστε την : \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 45

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 13, 2020 11:49 pm

Η μια διαγώνιος του ορθογωνίου APST είναι το ευθύγραμμο τμήμα: \overline {AMS} άρα AM \bot BC.

Το ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle APS \to (3k,4k,5k),\,\,\,k > 0 γιατί είναι όμοιο με το \vartriangle ABC,

κι αυτό γιατί από το εγγράψιμο τετράπλευρο MPBS, \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {CBA}.

Όμως από το Θ Ευκλείδη στο \vartriangle ABC έχω: MB = \dfrac{{16}}{5}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC = \dfrac{9}{5}.
Ώρα εφαπτομένης 45.png
Ώρα εφαπτομένης 45.png (17.01 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές
Αλλά AM \cdot MS = BM \cdot MC \Rightarrow A{M^2} = \dfrac{{16 \cdot 9}}{{25}} \Rightarrow AM = \dfrac{{12}}{5}. Άρα

AS = 5k = \dfrac{{24}}{5} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{{24}}{{25}}} και έτσι : \left\{ \begin{gathered} 
  AP = \frac{{72}}{{25}} \hfill \\ 
  PS = \frac{{96}}{{25}} \hfill \\ 
  PB = \frac{{18}}{{25}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \dfrac{{28}}{{96}} = \dfrac{7}{{24}}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1837
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 45

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιουν 14, 2020 2:32 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 13, 2020 7:48 pm
Ώρα εφαπτομένης 45.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=3 , το S είναι σημείο του περικύκλου του

και ανήκει στο ημικύκλιο που δεν ανήκει το A . Φέροντας : SP\perp AB , SM\perp BC ,ST\perp AC ,

δημιουργείται το ευθύγραμμο τμήμα PMT . Αν το M είναι το μέσο του PT , υπολογίστε την : \tan\theta .
Αφού M μέσον της διαγωνίου TP του ορθογωνίου TSPA ,τα S,M,A είναι συνευθειακά και   \angle \omega - \angle  \varphi =\theta

Ισχύει tan \omega = \dfrac{4}{3} ,tan \phi = \dfrac{3}{4} και tan \theta = \dfrac{tan \omega -tan \phi }{1+tan \omega  . tan \phi }=.. \dfrac{7}{24}
ώρα εφαπτομένης 45.png
ώρα εφαπτομένης 45.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9451
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 45

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 14, 2020 5:04 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 13, 2020 7:48 pm
Ώρα εφαπτομένης 45.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=3 , το S είναι σημείο του περικύκλου του

και ανήκει στο ημικύκλιο που δεν ανήκει το A . Φέροντας : SP\perp AB , SM\perp BC ,ST\perp AC ,

δημιουργείται το ευθύγραμμο τμήμα PMT . Αν το M είναι το μέσο του PT , υπολογίστε την : \tan\theta .
To ABSC είναι χαρταετός και ο Πτολεμαίος δίνει, \displaystyle 12 + 12 = BC \cdot AS = 5AS \Leftrightarrow PT = AS = \frac{{24}}{5}
Ώρα εφαπτομένης.45.png
Ώρα εφαπτομένης.45.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
\displaystyle AS \cdot SB = 2R \cdot SP \Leftrightarrow \frac{{96}}{5} = 5SP \Leftrightarrow SP = \frac{{96}}{{25}} και με νόμο συνημιτόνου στο ισοσκελές MSP είναι:

\displaystyle \cos (90^\circ  + \theta ) = \dfrac{{\dfrac{{288}}{{25}} - \dfrac{{9216}}{{625}}}}{{\dfrac{{288}}{{25}}}} =  - \frac{7}{{25}} \Rightarrow \sin \theta  = \frac{7}{{25}} και \boxed{\tan \theta  = \frac{7}{{24}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης