Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 19, 2020 11:11 am

Ώρα  εφαπτομένης  34.png
Ώρα εφαπτομένης 34.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Προεκτείνω την διάμετρο AB=d , ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : BS=\dfrac{d}{3} και φέρω

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Αν M είναι το μέσο του AT , υπολογίστε την : \tan\widehat{MSA} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 19, 2020 12:08 pm

Ώρα εφαπτομένης γωνίας 34.png
Ώρα εφαπτομένης γωνίας 34.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Ας είναι D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,L οι προβολές των T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M στην AB. Θέτω AB = 6x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = u.

Επειδή τα A,B είναι αρμονικά συζυγή των D,S έχω \boxed{u = \dfrac{{6x}}{5} \Leftrightarrow x = \dfrac{{5u}}{6}}\,\,\left( 1 \right)

Αλλά T{D^2} = DB \cdot DA \Rightarrow TD = DL = LA = 2u και έτσι :

\boxed{\tan \theta  = \dfrac{{ML}}{{LS}} = \dfrac{u}{{2u + u + \dfrac{{5u}}{3}}} = \dfrac{3}{{14}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 19, 2020 2:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 11:11 am
Ώρα εφαπτομένης 34.png Προεκτείνω την διάμετρο AB=d , ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : BS=\dfrac{d}{3} και φέρω

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Αν M είναι το μέσο του AT , υπολογίστε την : \tan\widehat{MSA} .
Έστω O το κέντρο του ημικυκλίου και P το σημείο τομής των OT, MS.
Ώρα εφαπτομένης.34.png
Ώρα εφαπτομένης.34.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
\displaystyle S{T^2} = SB \cdot SA \Leftrightarrow ST = \frac{{2d}}{3}, οπότε \displaystyle \tan (T\widehat SO) = \frac{{\frac{d}{2}}}{{\frac{{2d}}{3}}} \Leftrightarrow \boxed{\tan (T\widehat SO) = \frac{3}{4}} (1)

Μενέλαος στο AOT με διατέμνουσα \displaystyle \overline {SPM} , \displaystyle \frac{{AM}}{{MT}} \cdot \frac{{PT}}{{PO}} \cdot \frac{{SO}}{{SA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{PT}}{{PO}} = \frac{8}{5} \Leftrightarrow PT = \frac{{4d}}{{13}}

και \displaystyle \tan \omega  = \frac{{\frac{{4d}}{{13}}}}{{\frac{{2d}}{3}}} = \frac{6}{{13}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \tan \theta  = \frac{{\frac{3}{4} - \frac{6}{{13}}}}{{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{{13}}}} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \theta  = \frac{3}{{14}}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μάιος 20, 2020 6:11 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 11:11 am
Ώρα εφαπτομένης 34.png Προεκτείνω την διάμετρο AB=d , ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : BS=\dfrac{d}{3} και φέρω

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Αν M είναι το μέσο του AT , υπολογίστε την : \tan\widehat{MSA} .
Μια πιο μπελαλίδικη..

ST^2=SB . SA= \dfrac{4d^2}{9}  \Rightarrow ST= \dfrac{2d}{3} .

Έστω C συμμετρικό του S ως προς B και P συμμετρικό του T ως προς B και    SQ \bot AT

Επειδή  \dfrac{AC}{CB} =2 \Rightarrow C είναι κ.βάρους του τριγώνου  ATP ,άρα  MC= \dfrac{TS}{2}= \dfrac{d}{3}   \Rightarrow MP=MC+CP=MC+TS=d

συνεπώς το εγγράψιμο  MBPA είναι ισοσκελές τραπέζιο και το τρίγωνο TAP ορθογώνιο ισοσκελές ,οπότε  tan \omega = \dfrac{TB}{TA}= \dfrac{1}{2}

 \dfrac{QT}{TA}= \dfrac{SB}{BA}= \dfrac{1}{3}  \Rightarrow TQ= \dfrac{TA}{3} \Rightarrow QM= \dfrac{TA}{3} + \dfrac{TA}{2}    \Rightarrow QM= \dfrac{5}{6} TA

   \dfrac{QS}{TB}= \dfrac{AS}{AB}= \dfrac{4}{3}   .Έτσι,tan \phi = \dfrac{QS}{QM} = \dfrac{ \dfrac{4}{3} }{ \dfrac{5}{6} } \dfrac{TB}{TA} = \dfrac{24}{15}tan \omega = \dfrac{24}{15} .  \dfrac{1}{2} = \dfrac{12}{15}

Τέλος,από tan \theta =tan( \varphi - \omega )= \dfrac{tan \phi -tan \omega }{1+tan \phi tan \omega } \Rightarrow tan \theta = \dfrac{3}{14}
ef34.png
ef34.png (25.87 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης