Τρία εμβαδά και μία γωνία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11621
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρία εμβαδά και μία γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 16, 2020 8:58 am

Τρία  εμβαδά  και μία  γωνία.png
Τρία εμβαδά και μία γωνία.png (14.95 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Στον κύκλο (O,r) , τα σημεία N , S , P είναι ο Βορράς , ο Νότος και η Δύση αντίστοιχα . Το τρίγωνο TPS

είναι ισόπλευρο . Οι προεκτάσεις των SP , PT , τέμνουν την βόρεια εφαπτομένη στα σημεία K , L .

α) Υπολογίστε την γωνία \widehat{NTL} .

β) Αν : r=2 , υπολογίστε τα εμβαδά : (TPS ) , (NTL) και (KNTP) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9344
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρία εμβαδά και μία γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 16, 2020 10:23 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 8:58 am
Τρία εμβαδά και μία γωνία.pngΣτον κύκλο (O,r) , τα σημεία N , S , P είναι ο Βορράς , ο Νότος και η Δύση αντίστοιχα . Το τρίγωνο TPS

είναι ισόπλευρο . Οι προεκτάσεις των SP , PT , τέμνουν την βόρεια εφαπτομένη στα σημεία K , L .

α) Υπολογίστε την γωνία \widehat{NTL} .

β) Αν : r=2 , υπολογίστε τα εμβαδά : (TPS ) , (NTL) και (KNTP) .


α) \displaystyle N\widehat SK = 45^\circ, άρα το NKS είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε KS=KN\sqrt 2.

Αλλά, \displaystyle K{N^2} = KP \cdot KS, άρα το P είναι μέσο του KS, δηλαδή \displaystyle K\widehat TS = 90^\circ και το

KNTS είναι εγγράψιμο. Επομένως, \displaystyle N\widehat TK = 45^\circ  \Rightarrow \boxed{\omega  = 105^\circ }
3 Εμβαδά και 1 γωνία.png
3 Εμβαδά και 1 γωνία.png (20.95 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
β) \displaystyle KN = 4,PS = 2\sqrt 2 ,N\widehat LT = O\widehat PL = 15^\circ  = T\widehat KN \Rightarrow TL = TK = \frac{{KS\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6

Με νόμο συνημιτόνου στο KTL βρίσκω \displaystyle KL = 6 + 2\sqrt 3  \Leftrightarrow NL = 2(\sqrt 3  + 1)

\displaystyle (TPS) = \frac{{{{(2\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow \boxed{(TPS)  = 2\sqrt 3}, \displaystyle (NTL) = \frac{1}{2}2\sqrt 6  \cdot 2(\sqrt 3  + 1)\sin 15^\circ  \Leftrightarrow \boxed{(NTL)  = 2\sqrt 3}

\displaystyle (KNTP) = (KPL) - (NTL) = \frac{1}{2}2\sqrt 2  \cdot (6 + 2\sqrt 3 )\sin 45^\circ  - 2\sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{(KNTP)=6}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρία εμβαδά και μία γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 16, 2020 11:39 am

Οι γωνίες \widehat {NCP}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {PCS} είναι τα μισά των ορθών αντιστοίχων επικέντρων άρα από 45^\circ κάθε μια . Προφανώς η κάθε μια από τις κόκκινες γωνίες είναι 15^\circ /

Έτσι : \widehat {NSC} = 15^\circ  + 45^\circ  = 60^\circ , άρα και η \widehat {LNC} ( υπό χορδής κι εφαπτομένης ) είναι 60^\circ .

Συνεπώς \widehat {{\omega _{}}} = 180^\circ  - 15^\circ  - 60^\circ  = 105^\circ .

Για τα εμβαδά: Προφανές ότι ,PN = PT = PS = TS = r\sqrt 2

\boxed{\left( {TPS} \right) = \frac{{{{\left( {r\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}} Επίσης : X = \left( {PNT} \right) = \dfrac{1}{2}PN \cdot PT\sin 30^\circ  = \dfrac{1}{2}{r^2}
Τρία εμβαδά και  μια γωνία.png
Τρία εμβαδά και μια γωνία.png (42.58 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
Δηλαδή με το μισό τετράγωνο πλευράς r, οπότε

\left( {KPN} \right) = 2X = {r^2} \Rightarrow \boxed{\left( {KPTN} \right) = 3X = \dfrac{{3{r^2}}}{2}}

Για εμβαδόν \left( {NTL} \right).

Φέρνω την εφαπτομένη στο P, που είναι παράλληλη στην NS, και τέμνει την CN στο J.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου PNCS είναι ισοδύναμο με το εμβαδόν του τριγώνου

TJS που είναι ίσο με το τρίγωνο NLP\,\,\left( {\Gamma  - \Pi  - \Gamma } \right) και άρα \boxed{\left( {NTL} \right) = \left( {TPS} \right) = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες