Ώρα εφαπτομένης 24

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 24

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 04, 2020 8:09 am

Ώρα  εφαπτομένης  24.png
Ώρα εφαπτομένης 24.png (11.05 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με πλευρές c<b<a , η BM είναι διάμεσος και η BD διχοτόμος .

α) Υπολογίστε ( συναρτήσει των a , b , c ) , την \tan\theta ... β) Υπολογίστε την \tan\hat{C} , ώστε : \hat{C}=\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 24

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 04, 2020 10:06 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 04, 2020 8:09 am
Ώρα εφαπτομένης 24.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με πλευρές c<b<a , η BM είναι διάμεσος και η BD διχοτόμος .

α) Υπολογίστε ( συναρτήσει των a , b , c ) , την \tan\theta ... β) Υπολογίστε την \tan\hat{C} , ώστε : \hat{C}=\theta .
Ώρα εφαπτομένης.24.png
Ώρα εφαπτομένης.24.png (11.79 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
α) \displaystyle \theta  = A\widehat BM - A\widehat BD \Leftrightarrow \tan \theta  = \dfrac{{\dfrac{b}{{2c}} - \dfrac{b}{{a + c}}}}{{1 + \dfrac{{{b^2}}}{{2c(a + c)}}}} = \dfrac{{b(a - c)}}{{{b^2} + 2ac + 2{c^2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{{a^2} = {b^2} + {c^2}} \boxed{\tan \theta  = \frac{{b(a - c)}}{{{{(a + c)}^2}}}}

β) \displaystyle \tan \varphi  = \tan \theta  \Leftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{{b(a - c)}}{{{{(a + c)}^2}}} \Leftrightarrow {b^2}(a - c) = c{(a + c)^2} \Leftrightarrow ({a^2} - {c^2})(a - c) = c{(a + c)^2} \Leftrightarrow

\displaystyle {(a - c)^2} = c(a + c) \Leftrightarrow a = 3c \Rightarrow {b^2} = 8{c^2} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \varphi  = \frac{{\sqrt 2 }}{4}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 24

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 04, 2020 1:34 pm

Τώρα που το ξαναβλέπω , απορώ πως δεν διετύπωσα το ερώτημα : Αν τα a, b , c

αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα , δείξτε ότι η \tan\theta είναι κύβος ρητού !


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7210
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 24

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 04, 2020 1:52 pm

Ώρα εφαπτομένης 24_a.png
Ώρα εφαπτομένης 24_a.png (18.09 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

α ) Ας είναι \left( {o,\frac{a}{2}} \right) ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC και S,N ο νότιος και ο βόρειος πόλος .

\tan \theta  = \dfrac{{DM}}{{MN}} = \dfrac{{AM - AD}}{{MO + ON}} = \dfrac{{\dfrac{b}{2} - \dfrac{{bc}}{{a + c}}}}{{\dfrac{{a + c}}{2}}} = \dfrac{{b\left( {a - c} \right)}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}}

Στο άλλο ερώτημα τα είπε πολύ απλά ο Γιώργος .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 24

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 04, 2020 4:58 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 04, 2020 1:34 pm
Τώρα που το ξαναβλέπω , απορώ πως δεν διετύπωσα το ερώτημα : Αν τα a, b , c

αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα , δείξτε ότι η \tan\theta είναι κύβος ρητού !
Πράγματι, αν m, n, m>n είναι φυσικοί αριθμοί και \displaystyle a = {m^2} + {n^2},b = 2mn,c = {m^2} - {n^2},

τότε ο τύπος \tan \theta  = \dfrac{{b(a - c)}}{{{{(a + c)}^2}}} γράφεται \boxed{\tan \theta  = {\left( {\frac{n}{m}} \right)^3}}

ή αν εναλλάξουμε τις κάθετες πλευρές, \boxed{\tan \theta  = {\left( {\frac{m-n}{m+n}} \right)^3}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες