Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm

Βασικές  ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png
Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές
\bigstar Τα ζητούμενα της παρακάτω άσκησης είναι βασικά για ένα εγγεγραμμένο οξυγώνιο μη ισοσκελές τρίγωνο .

Το H είναι το σημείο τομής των υψών BD , CE , δηλαδή είναι το ορθόκεντρο του ABC και

το τμήμα OM το απόστημα της πλευράς - χορδής BC .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο ADE είναι όμοιο με το ABC .

β) Δείξτε ότι AH=2OM .

γ) Δείξτε ότι \widehat{BAH}=\widehat{OAC} .

δ) Δείξτε ότι AO\perp DE .

ε) Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο BHCS . Δείξτε ότι το S είναι σημείο του περικύκλου .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Μάιος 08, 2020 9:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 08, 2020 7:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm
Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png\bigstar Τα ζητούμενα της παρακάτω άσκησης είναι βασικά για ένα εγγεγραμμένο οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο .

Το H είναι το σημείο τομής των υψών BD , CE , δηλαδή είναι το ορθόκεντρο του ABC και

το τμήμα OM το απόστημα της πλευράς - χορδής BC .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο ADE είναι όμοιο με το ABC .

β) Δείξτε ότι AH=2OM .

γ) Δείξτε ότι \widehat{BAH}=\widehat{OAC} .

δ) Δείξτε ότι AO\perp DE .

ε) Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο BHCS . Δείξτε ότι το S είναι σημείο του περικύκλου .
Εγγ. τρίγωνο.png
Εγγ. τρίγωνο.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές
α) Το BEDC είναι εγγράψιμο, οπότε \displaystyle \widehat B = \omega ,\widehat C = \varphi , άρα τα τρίγωνα ADE, ABC είναι όμοια.

β) Φέρνω τη διάμετρο BOP. Προφανώς το AHCP είναι παραλληλόγραμμο, άρα \displaystyle AH = PC = 2OM.

γ) B\widehat AH=O\widehat AC ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών \displaystyle \widehat B,\omega.

δ) \widehat B = \omega, B\widehat AH=O\widehat AC, άρα οι \displaystyle O\widehat AC,\omega είναι συμπληρωματικές και AO\perp DE.

ε) \displaystyle B\widehat SC = B\widehat HC = 180^\circ  - \widehat A, οπότε το ABSC είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 08, 2020 11:10 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm

δ) Δείξτε ότι AO\perp DE .
Ας συμπληρώσω για χάρη των μαθητών μας ότι η ιδιότητα αυτή ονομάζεται "Θεώρρημα Nagel". Τα παλιά τα χρόνια το μάθαιναν όλοι οι υποψήφιοι στις Φυσικομαθηματικές και στις Πολυτεχνικές Σχολές. Ένας γρήγορος τρόπος απόδειξης είναι να φέρουμε την εφαπτομένη του περίκυκλου στο A και να δείξουμε ότι είναι παράλληλη της DE. Είναι σχετικά απλό με χρήση χορδής και εφαπτομένης στο άκρο της.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1035
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Μάιος 09, 2020 11:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 11:10 pm
KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm

δ) Δείξτε ότι AO\perp DE .
Ας συμπληρώσω για χάρη των μαθητών μας ότι η ιδιότητα αυτή ονομάζεται "Θεώρρημα Nagel". Τα παλιά τα χρόνια το μάθαιναν όλοι οι υποψήφιοι στις Φυσικομαθηματικές και στις Πολυτεχνικές Σχολές.
Προς επιβεβαίωση της παραπάνω δήλωσης του Μιχάλη Λάμπρου , σας παραπέμπω σε μια δημοσίευση , όπου σε ένα κακοδιατυπωμένο θέμα εισαγωγικών εξετάσεων του Ε.Μ.Π. του 1939 , υπάρχει λύση (και) με χρήση του Θεωρήματος Nagel.
viewtopic.php?f=22&t=59617&p=288771&hil ... A3#p288771


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 10, 2020 11:13 am

Να προσθέσω άλλες δύο ιδιότητες.

1. Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.

2. Ένα σημείο βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου, αν και μόνο αν οι προβολές του πάνω στις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία συνευθειακά (ευθεία \displaystyle {\rm{Simson}}.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 1 επισκέπτης