Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Απρ 18, 2020 8:56 am

Καλημέρα.
Καθετότητα   και  ακεραιότητα.PNG
Καθετότητα και ακεραιότητα.PNG (8.69 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και O είναι το μέσο του ύψους AM.

Το E \in AC ώστε OE=OA=OM ενώ η BO τέμνει την AC στο N. Αν AE=5EC τότε

Να δειχθεί ότι το \triangle NEO είναι ορθογώνιο και να βρεθεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( NEO \right )}

Ας αφήσουμε την πρώτη λύση στον μαθητή που .. :) ..ξύπνησε ευδιάθετος! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 18, 2020 9:31 am

Ευδιάθετος αλλά όχι μαθητής :lol:

Καλημέρα Γιώργο και καλό Πάσχα ! Με την άδειά σου ( υποθέτω ! ) , προσθέτω ερώτημα :

Αν το σημείο S είναι το μέσο του τμήματος MC , δείξτε ότι η OS διχοτομεί την \widehat{MOE} .


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 18, 2020 9:44 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Απρ 18, 2020 8:56 am
Καλημέρα.
Καθετότητα και ακεραιότητα.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και O είναι το μέσο του ύψους AM.

Το E \in AC ώστε OE=OA=OM ενώ η BO τέμνει την AC στο N. Αν AE=5EC τότε

Να δειχθεί ότι το \triangle NEO είναι ορθογώνιο και να βρεθεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( NEO \right )}

Ας αφήσουμε την πρώτη λύση στον μαθητή που .. :) ..ξύπνησε ευδιάθετος! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα σε όλους! :)

Έστω, AE=5EC=5x. Τότε, AC=6x. Από Θ. Μενελάου στο \vartriangle MAC με διατέμνουσα \overline{BON}, έχουμε ότι NC=2NA (αφού OA=OM,BM=BC/2).

Άρα, NA=AC/3=2x, οπότε και NE=3x.
Από μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο \vartriangle MAC έχουμε ότι CM^2=CE \cdot CA, οπότε CM=x\sqrt{6}.

Παρατηρούμε τώρα ότι, CB^2=24x^2=CN \cdot CA, άρα η CB εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle BAN.

Συνεπώς, \angle OBC=\angle A. Άρα \angle BOM=90^\circ-\angle A=90^\circ-2\angle OAE=90^\circ-\angle MOE, οπότε \angle BOM+\angle MOE=90^\circ. Αυτή δίνει \angle BOE=90^\circ, δηλαδή το \vartriangle NOE είναι ορθογώνιο.

Για τον λόγο των εμβαδών τώρα, είναι (BAC)=2(MAC), και τα \vartriangle MAC, \, \vartriangle NOE είναι όμοια (\angle OEN=\angle MAC) με λόγο ομοιότητας OE/MA=1/2, άρα και λόγο εμβαδών 1/4.

Συνεπώς (BAC)=2(MAC)=8(NOE), άρα ο ζητούμενος λόγος είναι 8.

Για το bonus ερώτημα: Στο τρίγωνο \vartriangle MAC η OS συνδέει μέσα δύο πλευρών άρα \angle MOS=\angle MAC=\angle OAE=\angle OEA=\angle EOS, δηλαδή η OS διχοτομεί την \angle MOE.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Απρ 18, 2020 12:39 pm

Επειδή το O είναι μέσο της διαμέσου AM θα είναι \boxed{AN = \frac{1}{3}AC} και έτσι αν

EC = k θα είναι, \boxed{AN = 2k\,\,,\,\,NE = 3k = \frac{1}{2}AC}. Προφανώς : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}
Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα.png
Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα.png (21.26 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
Για να δείξω ότι το \vartriangle OEN είναι ορθογώνιο στο O αρκεί να δείξω ότι είναι όμοιο

με το \vartriangle MAC. Πράγματι : \dfrac{{NE}}{{AC}} = \dfrac{{OE}}{{AM}} που ισχύει αφού καθένας λόγος είναι : \dfrac{1}{2}.

Τώρα προφανώς : \boxed{\dfrac{{\left( {NEO} \right)}}{{\left( {MAC} \right)}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{\left( {NEO} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \dfrac{1}{8}}.

Ένα ερώτημα κι από μένα . Πως γίνεται η γεωμετρική κατασκευή , του συγκεκριμένου τριγώνου ABC ;


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 18, 2020 1:38 pm

Μήτσιος+ Καρτέσιος.png
Μήτσιος+ Καρτέσιος.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
Θεωρούμε προφανή τα ME \perp AC (*) και AN=\dfrac{AC}{3} ( άσκηση του σχολικού ) .

Βάζουμε κατάλληλες συντεταγμένες . Η (*) δίνει ότι : 5c^2-a^2=0 .

Αλλά και : \vec{ON}\cdot \vec{OE}=2(5c^2-a^2)=0 ...

Η σχέση : a=c\sqrt{5} , δίνει και τον τρόπο κατασκευής ! ( Βλέπε το σχήμα που ακολουθεί )
Μήτσιος συμπλ.png
Μήτσιος συμπλ.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Απρ 18, 2020 6:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 18, 2020 2:13 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Απρ 18, 2020 12:39 pm

Ένα ερώτημα κι από μένα . Πως γίνεται η γεωμετρική κατασκευή , του συγκεκριμένου τριγώνου ABC ;
Κατασκ.ΝΦ..png
Κατασκ.ΝΦ..png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές
Με υποτείνουσα BC=a κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο KBC με \widehat B=60^\circ, \widehat C=30^\circ. Ο κύκλος (K, KC)

τέμνει την BK στο L και ο κύκλος (C, CL) τη μεσοκάθετο του BC στην κορυφή A του ισοσκελούς τριγώνου.


Αργότερα θα εξηγήσω πώς προέκυψε αυτή η κατασκευή.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Απρ 18, 2020 8:02 pm

Χαιρετώ τους φίλους.
Θανάση, Ορέστη, Νίκο, Γιώργο και :logo:
ευχές για Καλή Ανάσταση σε όλους!
Μια ακόμη κατασκευή του τριγώνου ABC .
Καθετότητα  .. και κατασκευή .PNG
Καθετότητα .. και κατασκευή .PNG (8.71 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
Στο σχήμα έχουμε το ισόπλευρο τρίγωνο BEC , το ύψος του EM και το ορθ. και ισοσκελές MEZ .

Ο κύκλος (C,EZ) τέμνει την ME στο A. Το ABC είναι το ζητούμενο τρίγωνο. Η αιτιολόγηση έπεται:

Υ.Γ Η κατασκευή στηρίζεται στη σχέση b^{2}=3a^{2}/2 που γράφει κι' ο Γιώργος.

Πράγματι έχουμε EM^{2}=3a^{2}/4 και AC^{2}=EZ^{2}=2EM^{2}=3a^{2}/2 δηλ AB=AC=b

Φιλικά, Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Κυρ Απρ 19, 2020 5:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 19, 2020 11:15 am

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Θα αποδείξω ότι το τρίγωνο της κατασκευής μου (Σχ.1) είναι ίσο με το τρίγωνο της εκφώνησης (Σχ.2)

Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε πάρει BC=a.
Κατασκ.ΝΦ.ΙΙ.png
Κατασκ.ΝΦ.ΙΙ.png (23.74 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
\displaystyle  \bullet Στο Σχ.1 είναι, \displaystyle KC = KL = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CL = KL\sqrt 2  = \frac{{a\sqrt 2 }}{6} \Leftrightarrow \boxed{b = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}}

\displaystyle  \bullet Στο Σχ.2 είναι, \displaystyle M{C^2} = CE \cdot CA \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{b^2}}}{6} \Leftrightarrow \boxed{b = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}}


Η κατασκευή λοιπόν προέκυψε ανάποδα.Πρώτα υπολογίστηκε η πλευρά b και στη συνέχεια προσαρμόστηκε το αποτέλεσμα σε γεωμετρική κατασκευή.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 19, 2020 12:25 pm

Για την κατασκευή
Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα_κατασκευή.png
Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα_κατασκευή.png (10.34 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα AM γράφω κύκλο .

Στο σημείο T του AM για το οποίο AT = 5TM φέρνω κάθετη σ αυτό που τέμνει τον κύκλο στα F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E.

Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο M και οι AF,\,\,AE την τέμνουν στα B,C


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 19, 2020 5:49 pm

Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά!
Ας θέσω ένα ακόμη διπλό ζητούμενο, με τα αρχικά δεδομένα ως έχουν
Ίσοι λόγοι.PNG
Ίσοι λόγοι.PNG (11.42 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Η BE τέμνει την AM στο F και η EO τον περίκυκλο των A,E,M στο L.

Να εξεταστεί αν οι λόγοι \dfrac{ AM }{FM} και \dfrac{\left ( LAEM \right )}{\left ( FEC \right )} είναι ο ίδιος ..ποδοσφαιρικός αριθμός.

Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 20, 2020 10:59 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Απρ 18, 2020 8:56 am
Καλημέρα.
Καθετότητα και ακεραιότητα.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και O είναι το μέσο του ύψους AM.

Το E \in AC ώστε OE=OA=OM ενώ η BO τέμνει την AC στο N. Αν AE=5EC τότε

Να δειχθεί ότι το \triangle NEO είναι ορθογώνιο και να βρεθεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( NEO \right )}

Ας αφήσουμε την πρώτη λύση στον μαθητή που .. :) ..ξύπνησε ευδιάθετος! Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Εστω EC=x,AE=5x,AC=6x=b,AM^{2}=AC^{2}-MC^{2}=\dfrac{15a^{2}}{12}, 
 
         \dfrac{a^{2}}{4}=x.6x\Leftrightarrow x^{2}=\dfrac{a^{2}}{24}

Στο τρίγωνο AMC με τέμνουσα

AMC,\dfrac{AF}{FM}\dfrac{BM}{MC}\dfrac{EC}{AC}=1\Rightarrow \dfrac{AF}{FM}=10 
 
\Leftrightarrow \dfrac{AM}{FM}=11, EI//AM, 
 
EI=\upsilon _{1},\dfrac{\upsilon _{1}}{AM}=\dfrac{1}{6} 
 
\Rightarrow \upsilon _{1}=\dfrac{a\sqrt{15}}{12\sqrt{3}}, 
 
(FEC)=(BEC)-(BFC)=\dfrac{5a^{2}\sqrt{15}}{4\sqrt{3}66} 
 
 
 
 
 
 
,ME^{2}=5x^{2}\Rightarrow ME^{2}=\dfrac{5a^{2}}{24} 
 
,(LAEM)=2(AME)=ME.AE=\dfrac{5\sqrt{5}a^{2}}{24}, \dfrac{(LAEM)}{(FEC)}=11


ΥΓ Γιώργο και οι δυο αριθμοί δείχνουν Ποτένσε
Συνημμένα
Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα.png
Καθετότητα και λόγου ακεραιότητα.png (64.24 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες