Βρείτε τη βάση

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό μήνα! Παρά τους χαλεπούς καιρούς, ας αισιοδοξούμε..

: Βρείτε τη βάση.PNG (10.54 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και $\widehat {A}=50^\circ$ . Το $E \in AB$ ώστε $\widehat {BCE}=40^\circ$ .

Αν AE=2

τότε: Να υπολογιστεί το μήκος της .

Μερικοί ..

..επιμένουν και χωρίς "έτοιμους" τριγωνομετρικούς αριθμούς. Δεκτές βεβαίως όλες οι λύσεις.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Ας είναι

, από το νόμο του ημίτονου στο $\vartriangle AEC$ έχω : $b\sin 25^\circ = 2\sin 105^\circ \,\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά $x = 2b\sin 25^\circ$ και άρα $x = 4\cos 15^\circ = \sqrt 6 + \sqrt 2$

#3

Με νόμο ημιτόνων στα AEC, EBC,

παίρνω διαδοχικά:

: Βάση.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

$\displaystyle \frac{{EC}}{{\sin 50^\circ }} = \frac{2}{{\sin 25^\circ }} \Leftrightarrow$ $\boxed{EC = 4\cos 25^\circ }$ και $\displaystyle \frac{{EC}}{{\sin 65^\circ }} = \frac{x}{{\sin 75^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{4\cos 25}}{{\cos 25}} = \frac{{4x}}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\sqrt 6+\sqrt 2}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τους Νίκο και Γιώργο για τις κομψές τους λύσεις!
Θα υποβάλω .. προσεχώς προσωπική λύση (αν δεν καλυφθεί) με χρήση τριγ. αριθμού μόνο του $cos \pi/6$ .
Φιλικά, Γιώργος.

#5

Ας είναι

το σημείο τομής του ύψους

του $\vartriangle ABC$ με τη

.

Προφανώς το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Φέρνω , από το

, την

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

. Αβίαστα προκύπτει ότι

το τετράπλευρο AEDC

είναι ισοσκελές τραπέζιο με AE = ED = DC = 2

.

Εδώ επί της ουσίας η άσκηση τελειώνει από την επίλυση του

$\vartriangle MCD \to \left( {90^\circ ,15^\circ ,75^\circ } \right)$ , αλλά επειδή ο αγαπητός Γιώργος Μήτσιος μου έβαλε

ιδέες , θα συνεχίσω αμιγώς γεωμετρικά .

Θεωρώ σημείο

του

έτσι ώστε : $\widehat {SDC} = 30^\circ$ και την κάθετη στη ευθεία

Από το

που τη συναντά στο

. Θα είναι :

: Βρείτε τη Βάση_new_1.png (42.18 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

$\left\{ \begin{gathered} TC = \frac{{DC}}{2} = 1 \hfill \\ DT = \frac{{DC\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} TC = TS = 1 \hfill \\ DT = \sqrt 3 \hfill \\ DS = DT - ST = \sqrt 3 - 1 \hfill \\ SC = \sqrt 2 \hfill \\ DM = MS = \frac{{DS\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή $BC = 2MC = 2\left( {MS + SC} \right) = 2\left( {\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 } \right)$ θα έχω: $\boxed{BC = \sqrt 6 + \sqrt 2 }$

Παρατήρηση : Ίσως η διαφορά μας τελικά με το Γιώργο να είναι στη δικαιολόγηση

της σχέσης : $DT = \dfrac{{DC\sqrt 3 }}{2}$ , θεωρώ το

ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς

.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ.Ακόμη ένα ευχαριστώ στο Νίκο για την καθαρή Γεωμετρική αντιμετώπιση του θέματος.
Ας δούμε κι' αυτή:

: Βρείτε τη βάση ΙΙ.PNG (11.75 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Σχηματίζω το τρίγωνο AFE

με γωνίες $\left ( 30^\circ ,75^\circ,75^\circ \right )$ όπως στο σχήμα και φέρω τις $AM \perp BC$ και $AZ \perp CEF$ .

Με τον Ν.Σ στο $\triangle AFE$ έχουμε $AE^{2}=2AF^{2}-2AF^{2}\sigma \upsilon \nu 30^\circ$ , που για AE=2

δίνει $AF^{2}=8+4\sqrt{3}=\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )^{2}$

Τα ορθ. τρίγωνα BAM,CAZ

είναι εμφανώς ίσα άρα BM=AZ

οπότε και

δηλ. $BC=AF=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ . Φιλικά, Γιώργος.

Βρείτε τη βάση

Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Μέλη σε σύνδεση