mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 29, 2020 10:33 am**

: Τετράγωνος τοίχος.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

$\bigstar$ Στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, "εγγράψαμε" το τετράγωνο PQST

.

Καλύψαμε το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου ;

Για την σημερινή σχολική πραγματικότητα ( κυρίως για την Γεωμετρία ) , αυτό είναι ένα δύσκολο θέμα .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 30, 2020 11:33 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 10:33 am
Τετράγωνος τοίχος.png $\bigstar$ Στο ισόπλευρο τρίγωνο , "εγγράψαμε" το τετράγωνο .

Καλύψαμε το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου ;

Για την σημερινή σχολική πραγματικότητα ( κυρίως για την Γεωμετρία ) , αυτό είναι ένα δύσκολο θέμα .

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και

η πλευρά του τετραγώνου.

: Τετράγωνος τοίχος.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

$\displaystyle \dfrac{{\dfrac{{a - x}}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{x}{h} = \dfrac{x}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = a\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)}$

$\displaystyle \frac{{(PQST)}}{{(ABC)}} = \frac{{4{{\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt 3 }} = 4\left( {7\sqrt 3 - 12} \right) \simeq 0,49742,$ άρα δεν καλύφθηκε το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 30, 2020 12:47 pm**

Μικρή γενίκευση, και χωρίς να υπολογίσουμε το εμβαδόν.

Παίρνουμε ισοσκελές τρίγωνο αντί ισόπλευρο. Εργαζόμαστε στο μισό του, αφού φέρουμε το ύψος του

, όπως στο σχήμα. Βλέπουμε δηλαδή το μισό τρίγωνο και το μισό τετράγωνο αλλά θα γενικεύσουμε σε "ορθογώνιο παραλληλόγραμμο" αντί τετράγωνο.

Είναι $\dfrac {y}{p-x}= \dfrac {h}{p}$ , άρα py+hx=ph

. Ως προς τα εμβαδά έχουμε

$\displaystyle{E_{orth}=xy= \dfrac {hx\cdot py}{ph}\le \dfrac {(hx + py)^2}{4ph} = \dfrac {(ph)^2}{4ph}= \dfrac {1}{2} \dfrac {(ph)^2}{2ph}= \dfrac {1}{2} E_{trig}}$

Δηλαδή το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι πάντα μικρότερο ή ίσο του μισού τριγώνου. Έχουμε ισότητα ανν $\displaystyle{ hx=py = \dfrac {1}{2} ph}$ , δηλαδή $x=\dfrac {1}{2}p, \, y = \dfrac {1}{2}h$ . Με άλλα λόγια όταν το

είναι το μέσον της πλευράς

.

Αν θέλαμε τετράγωνο αντί ορθογωνίου, όπως στο αρχικό ερώτημα, έχουμε τον περιορισμό y=2x

. Άρα, για να πιάσουμε το μισό τρίγωνο απαιτούμε $\dfrac {1}{2}h=p$ . Δηλαδή, σε κανένα ισοσκελές τρίγωνο δεν ισχύει ότι το εγγεγραμμένο τετράγωνο είναι το μισό του τριγώνου εκτός αν h=2p

, που από το Πυθαγόρειο στο μισό τρίγωνο AKC

του ισοσκελούς a,b,b

ισοδυναμεί με $b = \dfrac {\sqrt 5}{2}a$ .

mathematica.gr

Τετράγωνος τοίχος

Τετράγωνος τοίχος

Re: Τετράγωνος τοίχος

Re: Τετράγωνος τοίχος