mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2020 6:47 pm**

: shape.png (22.29 KiB) Προβλήθηκε 1141 φορές

Δίνεται κύκλος (O,R)

και δύο χορδές του AB = CD = 4

. Το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται στην

στο

. Να βρείτε το

, αν

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 09, 2020 7:23 pm**

: tessares.png (25.78 KiB) Προβλήθηκε 1127 φορές

... Άρα : $OM =\dfrac{5}{4}$ και με Πυθαγόρειο : $R=\dfrac{\sqrt{89}}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2020 10:44 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 09, 2020 6:47 pm
shape.pngΔίνεται κύκλος και δύο χορδές του . Το ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται στην στο . Να βρείτε το , αν

Είναι, $\displaystyle OM = \sqrt {{R^2} - 4} ,MD = \sqrt 5 ,\cos (\omega + \varphi ) = \frac{1}{{\sqrt 5 }},$

$\displaystyle \sin (\omega + \varphi ) = \frac{2}{{\sqrt 5 }},cos\varphi = \frac{2}{R},\sin \varphi = \frac{{\sqrt {{R^2} - 4} }}{R}$

: Ημικύκλιο εντός κύκλου.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

Νόμος συνημιτόνων στο OMD:

$\displaystyle {R^2} - 4 = {R^2} + 5 - 2R\sqrt 5 \cos \omega \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos \omega = \frac{9}{{2R\sqrt 5 }}}$ (1)

$\displaystyle \cos \omega = \cos (\omega + \varphi )\cos \varphi + \sin (\omega + \varphi )\sin \varphi = \frac{{2 + 2\sqrt {{R^2} - 4} }}{{R\sqrt 5 }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{R = \frac{{\sqrt {89} }}{4}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2020 11:55 am**

Ας είναι

το σημείο τομής των ίσων χορδών , $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ . Αφού είναι ίσες θα έχουν ίσα αποστήματα $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON$ άρα $NS = MS \Rightarrow \boxed{BS = DS = t}$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle EMS$ έχω: ${\left( {t + 2} \right)^2} = {2^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} \Rightarrow \boxed{t = \frac{1}{2}}$

: Ημικύκλιο εντός κύκλου.png (25.66 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

Από Π. Θ. στο $\vartriangle EMN$ έχω: $MN = \sqrt 5$ . Αφού τώρα $\vartriangle EMN \approx \vartriangle ZMO$ (

το μέσο του

) θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{MN}}{{OM}} = \frac{{ME}}{{MZ}} \hfill \\ y = OM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{\sqrt 5 }}{y} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ y = OM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{y = \frac{5}{4}}$

Από Π. Θ. στο $\vartriangle MOA$ βρίσκω: $\boxed{{R^2} = {2^2} + {y^2} = 4 + \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {89} }}{4}}$

Κατασκευή

Προεκτείνω την

κατά τμήμα BS = 0,5

και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

προς το ημικύκλιο .

Προεκτείνω το

κατά τμήμα EC = 3

και γράφω τον κύκλου (A,B,C)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2020 5:57 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 09, 2020 6:47 pm
shape.pngΔίνεται κύκλος και δύο χορδές του . Το ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται στην στο . Να βρείτε το , αν

Θεωρώντας και το ημικύκλιο διαμέτρου

η

είναι εφαπτομένη του και $MP \bot AB$ .

Εύκολα με Π.Θ στο $\triangle MNP \Rightarrow MN= \sqrt{5}$ .Το

προφανώς είναι ορθόκεντρο του $\triangle MNS$ και MONH

ρόμβος

$MH . MP=MK . MN \Rightarrow 2y= \dfrac{MN^2}{2}= \dfrac{5}{2} \Rightarrow y= \dfrac{5}{4}$ και με Π.Θ στο $\triangle OAN \Rightarrow R= \dfrac{ \sqrt{89} }{4}$

: Ημικύκλιο εντός κύκλου (2).png (55.86 KiB) Προβλήθηκε 1036 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2020 7:04 pm**

: Ημικύκλιο εντός κύκλου_new_new.png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x\left( {2 + y} \right) = 3 \hfill \\ y\left( {2 + x} \right) = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{y - x = \frac{1}{2}}$ Άρα $\boxed{LM = \frac{1}{2} \Rightarrow EL = DG = \frac{5}{2}}$

Π. Θ. στο $\vartriangle DCG$ : $\boxed{4{R^2} = {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 16 \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {89} }}{4}}$

mathematica.gr

Ημικύκλιο εντός κύκλου

Ημικύκλιο εντός κύκλου

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου

Re: Ημικύκλιο εντός κύκλου