mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 26, 2020 5:14 pm**

: shape.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,(AB = AC)$ και σημεία D,E

επί της

. Να βρείτε τη διάμετρο

του κύκλου (O)

, που εφάπτεται στις πλευρές BC,AC

στα σημεία S,T

αντίστοιχα και ισχύει ότι $BS = 2,\,AT = 3$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 26, 2020 8:04 pm**

Η ακτίνα του κύκλου είναι R=4

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 26, 2020 8:33 pm**

: νανοδιάμετρος.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Τέσσερις άγνωστοι , τέσσερις εξισώσεις : z(z+2r)=4 , y(y+2r)=9

,

και : $\dfrac{r+y}{r+z}=\dfrac{x+3}{x+2}$ (από θεώρημα διχοτόμων ) .

Αποτέλεσμα : $2r=8 , y=1 , x=4\phi$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 26, 2020 9:38 pm**

Φέρνω από το

παράλληλη προς την

και από τα

και

τις παράλληλες προς την

.
Εύκολα έχω ότι $\bigtriangleup OQT=\bigtriangleup SBO\Rightarrow OQ=2$ .
Από το παραλληλόγραμμο $PATQ\Rightarrow QP=3$ .

Αρα $PO=5\Rightarrow OA=5\Rightarrow OT=r=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 26, 2020 10:36 pm**

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{R}{2}$ και $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A} = \frac{R}{3}$
Έχουμε $\displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A} = \varepsilon \varphi (180 - 2{\rm B}) = - \varepsilon \varphi 2{\rm B} = - \frac{{2\varepsilon \varphi {\rm B}}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}{\rm B}}}$
Άρα $\displaystyle \frac{R}{3} = - \frac{{2\frac{R}{2}}}{{1 - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow \frac{{{R^2} - 4}}{4} = 3 \Rightarrow R = 4$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 27, 2020 12:26 am**

Καλημέρα σε όλους!. Με οδηγό τη λύση του Αλέξανδρου.

: Ισοσκελές και κύκλος.PNG (10.33 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Φέρω $OH \parallel BC$ .Από τα ίσα τρίγωνα OTH,BOS

έπεται

, τότε

και με Π.Θ: OT=4

άρα

.

Παρατήρηση: Βρίσκουμε $OH=2\sqrt{5}$ οπότε και $HC=OB=2\sqrt{5}$

με συνέπεια $\dfrac{CT}{TO}=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{4}=\Phi$ (αυτό το αναφέρει έμμεσα και ο Θανάσης πριν). $\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 27, 2020 2:07 am**

: Iσοσκελές και κύκλος.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου .

Έστω σημείο

του

με

. Προφανές ότι τα ορθογώνια τρίγωνα

$TAK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SFK\,$ είναι ίσα . Έτσι τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FKA$ είναι όμοια , οπότε και

το τρίγωνο FKA

είναι ισοσκελές με κορυφή το

, άρα

$m = KF = FB = 2 + 3 = 5 \Rightarrow \boxed{R = 4}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 27, 2020 10:26 am**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 5:14 pm
shape.pngΔίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,(AB = AC)$ και σημεία επί της . Να βρείτε τη διάμετρο του κύκλου , που εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα και ισχύει ότι $BS = 2,\,AT = 3$

Έστω

το ύψος και

η διχοτόμος του τριγώνου. Θέτω CS=CT=x.

Λόγω της παραλληλίας KS||AM

και της διχοτόμου, είναι:

: Ισοσκελές και κύκλος.png (14.68 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

$\displaystyle \frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} = \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{BS}}{{SM}} = \frac{2}{{\frac{{x + 2}}{2} - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 16 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{x > 0} x = 2 + 2\sqrt 5$

Εύκολα τώρα βρίσκω KA=5

και $\boxed{R=4}$

mathematica.gr

Ισοσκελές & κύκλος

Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Re: Ισοσκελές & κύκλος