Εσωτερικό σημείο

#1

: Εσωτερικό σημείο..png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Έστω

το έγκεντρο τριγώνου ABC

και

τα μέσα των πλευρών του.

Να δείξετε ότι το

είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου MNP.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:27 pm
Εσωτερικό σημείο..png
Έστω το έγκεντρο τριγώνου και τα μέσα των πλευρών του.

Να δείξετε ότι το είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου

: 232.PNG (25.5 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Καλησπέρα !

Έστω AD,BE,CF

διχοτόμοι και K,L,T

οι τομές τους με τις PN,MP,MN

αντίστοιχα.
Στο ABD

η

είναι διχοτόμος άρα $\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{c}{\dfrac{ac}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a}>1=\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AK}{KD}\Leftrightarrow AI>AK$ .
Συνεπώς τα A,I

ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα σε σχέση με την

.
Όμοια και για τις άλλες κορυφές το

θα είναι εσωτερικό του MPN

.

Al.Koutsouridis · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2020 4:27 pm
Εσωτερικό σημείο..png
Έστω το έγκεντρο τριγώνου και τα μέσα των πλευρών του.

Να δείξετε ότι το είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου

Αρκεί να δείξουμε ότι $r < h_{a}/2$ (και αντίστοιχα για τα άλλα ύψη) .Από τους τύπους για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε $E=pr=\dfrac{h_{a}}{2}a$ . Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι p > a

, που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα.

Εσωτερικό σημείο

Εσωτερικό σημείο

Re: Εσωτερικό σημείο

Re: Εσωτερικό σημείο

Μέλη σε σύνδεση