Διχοτόμηση από παραλληλία.

#1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το μέσον της πλευράς του και , τυχόν σημείο επί της . Στην προέκταση της προς το μέρος του λαμβάνουμε σημείο ώστε να είναι και ας είναι , το σημείο επί της ώστε να είναι $DM\parallel BN$ . Αποδείξτε ότι , όπου $Z\equiv AD\cap EN$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το μέσον της πλευράς του και , τυχόν σημείο επί της . Στην προέκταση της προς το μέρος του λαμβάνουμε σημείο ώστε να είναι και ας είναι , το σημείο επί της ώστε να είναι $DM\parallel BN$ . Αποδείξτε ότι , όπου $Z\equiv AD\cap EN$ .

Κώστας Βήττας.

: 207.PNG (21.96 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Καλησπέρα!

Έστω ότι η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και $F\equiv AC\cap DM$
Θέτω BD=x

.Είναι $BN//DF\Leftrightarrow \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{NF}{NC}\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{NF}{\dfrac{b}{2}}\Leftrightarrow NF=\dfrac{bx}{2a}$
Επίσης
$DL//EN\Leftrightarrow \dfrac{CL}{CN}=\dfrac{DC}{CE}\Leftrightarrow \dfrac{CL}{\dfrac{b}{2}}=\dfrac{a-x}{x}\Leftrightarrow CL=\dfrac{b\left ( a-x \right )}{2x}\Leftrightarrow NL=CL+CN=\dfrac{\,\,\,\,ab-bx}{2x}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{ab}{2x}$
Έχουμε λοιπόν $NF\cdot NL=\dfrac{bx}{2a}\cdot \dfrac{ab}{2x}=\dfrac{b^2}{4}=NC^2$ το οποίο από το θεώρημα Newton σημαίνει ότι (A,C/F,L)=-1

και αφού

θα είναι

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το μέσον της πλευράς του και , τυχόν σημείο επί της . Στην προέκταση της προς το μέρος του λαμβάνουμε σημείο ώστε να είναι και ας είναι , το σημείο επί της ώστε να είναι $DM\parallel BN$ . Αποδείξτε ότι , όπου $Z\equiv AD\cap EN$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

Μία εντός φακέλου:

Έστω

το μέσο του

,τότε θα είνα και μέσον του

.Θέτω

.
Είναι $DM//BN\Leftrightarrow \dfrac{ME}{MN}=\dfrac{DE}{DB}\Leftrightarrow ME=\dfrac{a}{x}MN$ και $KN//AD\Leftrightarrow \dfrac{NE}{ZN}=\dfrac{KE}{KD}\Leftrightarrow \dfrac{MN+\dfrac{a}{x}MN}{ZM-MN}=\dfrac{\dfrac{a+x}{2}}{\dfrac{a-x}{2}}\Leftrightarrow \dfrac{MN\cdot \dfrac{a+x}{x}}{MZ-MN}=\dfrac{a+x}{a-x}\Leftrightarrow \\\,\,.. \Leftrightarrow MZ-MN=\dfrac{MN\left ( a-x \right )}{x}\Leftrightarrow MZ=MN\left ( \dfrac{a-x}{x}+1 \right )=MN\cdot \dfrac{a}{x}=ME$

#4

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το μέσον της πλευράς του και , τυχόν σημείο επί της . Στην προέκταση της προς το μέρος του λαμβάνουμε σημείο ώστε να είναι και ας είναι , το σημείο επί της ώστε να είναι $DM\parallel BN$ . Αποδείξτε ότι , όπου $Z\equiv AD\cap EN$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

Έστω

το σημείο τομής των AD, BN.

: Διχ-Παρ.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Μενέλαος στο ADC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {ZNE}:$ $\displaystyle \frac{{AN}}{{NC}} \cdot \frac{{EC}}{{ED}} \cdot \frac{{DZ}}{{ZA}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{ZA}}{{ZD}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{BD}}{{DE}} = \frac{{MN}}{{ME}}}$ (1)

Ομοίως με Μενελάου στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BPN} ,$ $\displaystyle \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{DP}}{{DZ}} = \frac{{MN}}{{MZ}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{ME=MZ}$

#5

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το μέσον της πλευράς του και , τυχόν σημείο επί της . Στην προέκταση της προς το μέρος του λαμβάνουμε σημείο ώστε να είναι και ας είναι , το σημείο επί της ώστε να είναι $DM\parallel BN$ . Αποδείξτε ότι , όπου $Z\equiv AD\cap EN$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

: Διχοτόμηση από παραλληλία.png (33.12 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Έστω το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με την .
Τότε με το μέσο της $AC\Rightarrow AF=\parallel CE\overset{CE=\parallel BD}{\mathop{\Rightarrow }}\,AF=\parallel BD\Rightarrow BF\parallel AD$ και το μέσο (και της )

Από $DM\parallel BN\Rightarrow \dfrac{EM}{EN}=\dfrac{ED}{EB}\overset{DZ\parallel BF}{\mathop{=}}\,\dfrac{EZ}{EF}\overset{EF=2EN}{\mathop{\Rightarrow }}\,EZ=2EM\Rightarrow M$ μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Στάθης

#6

Αλλιώς, στο σχήμα του Στάθη.

Ορίζουμε το σημείο

, ως το συμμετρικό του

ως προς το

και ας είναι

το κοινό μέσον των $DC,\ BE$ .

Τότε, από $DZ\parallel KN\parallel BF$ , στα ομοιόθετα τρίγωνα $\vartiangle BEF,\ \vartriangle DEZ$ , η ευθεία

είναι διάμεσος στο $\vartriangle DEZ$ , ως ομόλογη της διαμέσου

στο $\vartriangle BE F$ .

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 1:14 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω το μέσον της πλευράς του και , τυχόν σημείο επί της . Στην προέκταση της προς το μέρος του λαμβάνουμε σημείο ώστε να είναι και ας είναι , το σημείο επί της ώστε να είναι $DM\parallel BN$ . Αποδείξτε ότι , όπου $Z\equiv AD\cap EN$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεκτές λύσεις και εκτός φακέλου.

Με

συμμετρικό του

ως προς

$\Rightarrow AH =//BC=//DE$ $\Rightarrow AD//HE$

Έτσι, $\dfrac{ZM}{ME}= \dfrac{DM}{MP}= \dfrac{BN}{NH}=1 \Rightarrow ZM=ME$

: Διχοτόμηση από παραλληλία.png (20 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #8

Για την Καλημέρα στους φίλους και αγαπητούς, μια άλλη ..μακρύτερη προσπάθεια

: Διχοτόμηση ..Κ.Β..PNG (9.63 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Το

κοινό μέσον των DC,BE

ενώ $CH \parallel AD \parallel KN$ και $DQ \parallel AC$ . Τα τρίγωνα ZAN , NHC

είναι ίσα άρα AZ=CH

.

Ακόμη $\dfrac{PD}{KN}=\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{CH}{KN}$ οπότε PD=CH=AZ

και $\boxed{AP=DZ}$ .

Έτσι έχουμε διαδοχικά $\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{x}{x+2y}=\dfrac{QD}{NC}=\dfrac{QD}{AN}=\dfrac{PD}{AP}=\dfrac{PD}{DZ}=\dfrac{MN}{MZ}$ συνεπώς ME=MZ

.
Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #9

Χαιρετώ και πάλι.Επανέρχομαι για συντομότερη παραλλαγή

: Διχοτόμηση ..Κ.Β.. 2.PNG (9.77 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Φέρω και $CT \parallel BN \parallel DM$ . Όπως πριν είναι $PD= \parallel CH$ οπότε MN=HT

ενώ και $BD=CE\Rightarrow MN=TE$

άρα MN=HT=TE=s

. Από τα ίσα τρίγωνα ZAN,NHC

προκύπτει

.

Έτσι έχουμε ME=MH+2s

αλλά και

άρα

. Φιλικά, Γιώργος.

Διχοτόμηση από παραλληλία.

Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Re: Διχοτόμηση από παραλληλία.

Μέλη σε σύνδεση