Αναλογίες.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Αναλογίες.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Δεκ 30, 2019 6:11 pm

7.png
7.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές


Χρόνια πολλά σε όλους.

Δίνονται οι κύκλοι (O_{1}, R_{1}), (O_{2}, R_{2}) του παραπάνω σχήματος.
Δείξτε ότι \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{AB}{AT}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10467
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναλογίες.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 30, 2019 7:18 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 6:11 pm
7.png



Χρόνια πολλά σε όλους.

Δίνονται οι κύκλοι (O_{1}, R_{1}), (O_{2}, R_{2}) του παραπάνω σχήματος.
Δείξτε ότι \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{AB}{AT}.
Χρόνια Πολλά!
Αναλογίες.png
Αναλογίες.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Τα ισοσκελή τρίγωνα O_1BC, O_2AT είναι όμοια, \displaystyle \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{BC}}{{AT}} = \frac{{AB}}{{AT}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7924
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αναλογίες.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 30, 2019 7:25 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 6:11 pm
7.png



Χρόνια πολλά σε όλους.

Δίνονται οι κύκλοι (O_{1}, R_{1}), (O_{2}, R_{2}) του παραπάνω σχήματος.
Δείξτε ότι \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{AB}{AT}.
Αναλογία Θεοφανίδη.png
Αναλογία Θεοφανίδη.png (28.67 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές

Χρόνια πολλά

Επειδή τα τρίγωνα OAT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCA έχουν από δύο γωνίες ίσες

( τις \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{T_{}}} = \widehat {{C_{}}}) θα είναι ισογώνια άρα και το τρίγωνο BCA είναι ισοσκελές ).

Γράφω τώρα τον κύκλο: \left( {B,{R_1}} \right) που διέρχεται προφανώς από το {O_1} τέμνει δε ακόμα την AC έστω στο F

Αφού τα τρίγωνα BCA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BF{O_1} είναι ισοσκελή με κοινή κορυφή B θα έχω: \vartriangle BCF = \vartriangle BA{O_1} \Rightarrow CF = {O_1}A \Rightarrow \boxed{C{O_1} = AF = {R_1}}

Δηλαδή το \vartriangle FBA είναι ισοσκελές με κορυφή το F και από την ομοιότητα των

\vartriangle FAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OAT έχω: \boxed{\frac{{AB}}{{AT}} = \frac{{FA}}{{OA}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}}

Με πρόλαβε ο Γιώργος πιο απλά και πιο όμορφα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2062
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αναλογίες.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιαν 01, 2020 3:03 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 6:11 pm
7.png



Χρόνια πολλά σε όλους.

Δίνονται οι κύκλοι (O_{1}, R_{1}), (O_{2}, R_{2}) του παραπάνω σχήματος.
Δείξτε ότι \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{AB}{AT}.
Καλή χρονιά σε όλους..

Επειδή BO_1P,AO_2D διάμετροι  \Rightarrow  \angle BTP= \angle ATD=90^0 \Rightarrow P,T,D συνευθειακά και  \angle BO_1O_2+ \angle O_1O_2T=180^0

 \dfrac{BA}{AT}= \dfrac{(O_1BO_2)}{(O_1TO_2)}= \dfrac{R_1 . R_1}{R_2 . R_1}= \dfrac{R_1}{R_2}
Αναλογίες.png
Αναλογίες.png (25.9 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες