Ακτίνα και μήκος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6884
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ακτίνα και μήκος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 13, 2019 4:00 am

Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png
Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png (18 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα OA και το μήκος x



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8673
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακτίνα και μήκος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 13, 2019 10:06 am

Doloros έγραψε:
Παρ Δεκ 13, 2019 4:00 am
Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png

Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα OA και το μήκος x
Ακτίνα και μήκος.png
Ακτίνα και μήκος.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Είναι \displaystyle AE = 2\sqrt {{R^2} - 225} και από τα όμοια τρίγωνα DEA, DBC, \boxed{\frac{{\sqrt {{R^2} - 225} }}{{24}} = \frac{{30}}{{R + x}}} (1)

\displaystyle {\rm{Stewart}} στο τρίγωνο ADC: \displaystyle 900(x + R) = {R^2}(x + R) + xR(x + R) \Leftrightarrow x + R = \frac{{900}}{R}

και αντικαθιστώντας στην (1), \displaystyle \frac{{\sqrt {{R^2} - 225} }}{{24}} = \frac{R}{{30}} \Leftrightarrow \boxed{R=25} και εύκολα τώρα \boxed{x=11}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 198
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ακτίνα και μήκος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Δεκ 13, 2019 2:48 pm

Καλησπέρα,

Το \bigtriangleup ADC είναι ισοσκελές οπότε φέρνουμε το ύψος AM που προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο N. Εύκολα τώρα προκύπτει από τις γωνίες ότι το εγγεγραμμένο ABNC είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι διαγώνιες είναι ίσες δηλαδή AN=48\Rightarrow AM=48/2=24.
Με π.θ. στο \bigtriangleup AMC\Rightarrow MC=18. Με δύναμη σημείου M\rightarrow MA^{2}=MC*(2R-MC)\Rightarrow 2R=50\Rightarrow R=25.

Τέλος x=OD=DC-R=2*18-25\Rightarrow x=11
Συνημμένα
ακτινα και μηκος.png
ακτινα και μηκος.png (32.31 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6884
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακτίνα και μήκος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 13, 2019 3:15 pm

Altrian έγραψε:
Παρ Δεκ 13, 2019 2:48 pm
Καλησπέρα,

Το \bigtriangleup ADC είναι ισοσκελές οπότε φέρνουμε το ύψος AM που προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο N. Εύκολα τώρα προκύπτει από τις γωνίες ότι το εγγεγραμμένο ABNC είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι διαγώνιες είναι ίσες δηλαδή AN=48\Rightarrow AM=48/2=24.
Με π.θ. στο \bigtriangleup AMC\Rightarrow MC=18. Με δύναμη σημείου M\rightarrow MA^{2}=MC*(2R-MC)\Rightarrow 2R=50\Rightarrow R=25.

Τέλος x=OD=DC-R=2*18-25\Rightarrow x=11
Η λύση μου είναι στο επίπεδο της λύσης του Γιώργου , αλλά η λύση του Αλέξανδρου είναι με τόσο " αγνά " υλικά που θέλει :clap2: .

Υπερέχει δε κατά πολύ άλλων λύσεων που "κυκλοφορούν" στο διαδίκτυο !


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1724
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ακτίνα και μήκος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 13, 2019 6:25 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Δεκ 13, 2019 4:00 am
Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png

Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα OA και το μήκος x
Άλλη μια..

Με CPN \bot OA \Rightarrow P μέσον της NC και όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα QT=2R \Rightarrow NT=TD

Άρα QTDA εγγράψιμο \Rightarrow QD \bot TC.Αλλά και  QH \bot TC συνεπώς Q,H,D συνευθειακά

Επειδή TD=TB=TN \Rightarrow NC=CB=48 \Rightarrow PC=24 και με Π.Θ στο \triangle APC \Rightarrow AP=18

και cos \varphi = \dfrac{18}{30}= \dfrac{30}{2R}  \Rightarrow R=25

Ακόμη, QN=DC=2AP=36 \Rightarrow R+x=36 \Rightarrow x=11
Ακτίνα και μήκος.png
Ακτίνα και μήκος.png (188.07 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ακτίνα και μήκος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 13, 2019 8:00 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα προσέγγιση με Τριγωνομετρία και τις ελάχιστες παρεμβάσεις στο σχήμα.


13-12-2019 Γεωμετρία.jpg
13-12-2019 Γεωμετρία.jpg (38.64 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές


Σε μοίρες είναι  \displaystyle \mathop {AK}\limits^ \cap   = \;\mathop {AC}\limits^ \cap   + \mathop {KB}\limits^ \cap   = 2\varphi .

Επίσης είναι  \displaystyle \mathop {{\rm A}{\rm K}}\limits^ \cap   + \mathop {{\rm A}C}\limits^ \cap   = 180^\circ  \Rightarrow 2\mathop {{\rm A}C}\limits^ \cap   + \mathop {{\rm K}B}\limits^ \cap   = 180^\circ (1)

και  \displaystyle \mathop {BC}\limits^ \cap   + \mathop {KB}\limits^ \cap   = 180^\circ (2). Από (1) και (2) είναι  \displaystyle 2\mathop {{\rm A}C}\limits^ \cap   = \mathop {BC}\limits^ \cap   \Rightarrow \widehat A = 2\widehat B .

Οπότε, από Ν. Ημιτόνων στο ABC  \displaystyle \frac{{BC}}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{{AC}}{{\eta \mu {\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{48}}{{\eta \mu 2{\rm B}}} = \frac{{30}}{{\eta \mu {\rm B}}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{4}{5} .

Άρα  \displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \sigma \upsilon \nu 2{\rm B} = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm B} - 1 = 2 \cdot \frac{{16}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}} .

Στο DAC από Ν. Συνημιτόνων,  \displaystyle D{C^2} = A{D^2} + A{C^2} - 2AD \cdot AC\sigma \upsilon \nu {\rm A} = 2 \cdot {30^2} - 2 \cdot {30^2} \cdot \frac{7}{{25}} \Rightarrow DC = 36 .

Τώρα,  \displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ  - 2\varphi } \right) =  - \sigma \upsilon \nu 2\varphi , οπότε  \displaystyle \sigma \upsilon \nu 2\varphi  =  - \frac{7}{{25}} \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi  - 1 =  - \frac{7}{{25}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi  = \frac{9}{{25}} , και αφού  \displaystyle 0^\circ  < \varphi  < 90^\circ είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{3}{5} .

Εύκολα, στο AOC είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{15}}{R} \Leftrightarrow R = 25 , άρα x = 11.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1724
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ακτίνα και μήκος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 13, 2019 10:06 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Δεκ 13, 2019 4:00 am
Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png

Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα OA και το μήκος x
Άλλη μια..

Η BA τέμνει την εφαπτόμενη στο C στο K οπότε DA=AK=AC=30 και λόγω

ισότητας των σημειωμένων γωνιών , KC=CB=48

Με Π.Θ στο \triangle KDC \Rightarrow DC=36 και   \triangle AEC \simeq  \triangle DKC \Rightarrow  \dfrac{30}{36} = \dfrac{2R}{60}  \Rightarrow R=25.Άρα x=11
ακτίνα και τμήμα..png
ακτίνα και τμήμα..png (300.94 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης