Μπαρμπαστάθεια 2019

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1103
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Μπαρμπαστάθεια 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ
το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές.
Μπαρμπαστάθεια  2019 .PNG
Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG (5.56 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Το AB\Gamma\Delta  είναι τετράγωνο και τα M,N τα μέσα των πλευρών AB και B\Gamma. Το E \in \Delta N ώστε ME \perp    \Delta N.

Ι) Να δείξετε ότι τα σημεία M,E , \Gamma είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Να δείξετε ότι ισχύει \Delta E=2E\Gamma=4EN.

ΙΙΙ) Αν δοθεί ότι \left ( AB\Gamma \Delta  \right )=100 cm^{2} να υπολογιστεί το \left ( \Gamma EN \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Δεκ 01, 2019 12:43 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm
Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ
το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές.
Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG
Το AB\Gamma\Delta  είναι τετράγωνο και τα M,N τα μέσα των πλευρών AB και B\Gamma. Το E \in \Delta N ώστε ME \perp    \Delta N.

Ι) Να δείξετε ότι τα σημεία M,E , \Gamma είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Να δείξετε ότι ισχύει \Delta E=2E\Gamma=4EN.

ΙΙΙ) Αν δοθεί ότι \left ( AB\Gamma \Delta  \right )=100 cm^{2} να υπολογιστεί το \left ( \Gamma EN \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο! :)

Ι) Θα δείξω ότι MC \perp DN.

Τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle MBC, \vartriangle NDC έχουν :

\bullet NC=BC/2=AB/2=MB
\bullet DC=BC

Άρα, είναι ίσα, οπότε \angle BMC=\angle DNC, οπότε \angle MCB=90^\circ-\angle BMC=90^\circ-\angle DNC \Rightarrow DN \perp MC.

Οπότε, ME \perp DN, και MC \perp DN, συνεπώς M,E,C συνευθειακά.

ΙΙ) Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle DNC έχω :

\bullet NC^2=NE \cdot ND (1)
\bullet DC^2=DE \cdot DN (2)

Διαιρώ κατά μέλη τις (1), (2) και έχω \dfrac{NE}{DE}=\dfrac{NC^2}{DC^2}=\dfrac{1}{4} \Rigtarrow DE=4EN.

Πάλι όμως από μετρικές σχέσεις, έχω CE^2=DE \cdot EN=4EN^2 \Rightarrow CE=2EN.

Τελικά, DE=2EC=4EN.

ΙΙΙ) Είναι, (NEC)=\dfrac{NE \cdot EC}{2}=\dfrac{ND \cdot EC}{10}=\dfrac{(DNC)}{5}=\dfrac{(DBC)}{10}=\dfrac{(ABCD)}{20}=5 \Rightarrow (NEC)= 5 \rm cm^2


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 01, 2019 1:41 pm

Καλό μήνα!

Νομίζω ότι οι ενδεδειγμένες λύσεις είναι του Ορέστη. Δεν υπάρχουν και πολλές επιλογές, εκτός ίσως από λίγη τριγωνομετρία στο (ΙΙ), \displaystyle \tan (N\widehat \Delta \Gamma ) = \frac{1}{2}, κλπ.

Μου κάνει εντύπωση ότι δυσκολεύτηκαν στο (Ι). Στην Α' Λυκείου στα τετράγωνα, υπάρχει μια πολύ δημοφιλής άσκηση του σχολικού, που λέει ότι τα \Gamma M, \Delta N είναι ίσα και κάθετα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1690
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 01, 2019 2:03 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm
Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ
το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές.
Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG

Το AB\Gamma\Delta  είναι τετράγωνο και τα M,N τα μέσα των πλευρών AB και B\Gamma. Το E \in \Delta N ώστε ME \perp    \Delta N.

Ι) Να δείξετε ότι τα σημεία M,E , \Gamma είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Να δείξετε ότι ισχύει \Delta E=2E\Gamma=4EN.

ΙΙΙ) Αν δοθεί ότι \left ( AB\Gamma \Delta  \right )=100 cm^{2} να υπολογιστεί το \left ( \Gamma EN \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.

Με MQ \bot DC τα σημεία A,M,E,Q,D είναι προφανώς ομοκυκλικά με AM=QD=QC

Από \triangle ADQ= \triangle NDC \Rightarrow AQ \bot DN \Rightarrow AQ//ME .Ακόμη AM=//QC \Rightarrow AQ//MC ,άρα M,E,C συνευθειακά

tanx= \dfrac{NC}{DC} = \dfrac{1}{2}= \dfrac{EC}{DE}= \dfrac{EN}{EC}  \Rightarrow ED=2CE=4EN

Είναι, (DNC)= \dfrac{1}{4} (ABCD)=25  και \dfrac{NE}{ED} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow  \dfrac{NE}{ND}= \dfrac{1}{5}= \dfrac{(NEC)}{(NCD)}    \Rightarrow (NEC)=5
Μπαρμπαστάθεια.png
Μπαρμπαστάθεια.png (23.77 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Δεκ 01, 2019 2:45 pm

Καλό μήνα σε όλους!

Εναλλακτική λύση για το 1ο ερώτημα (εκτός φακέλου):

Τα ορθογώνια τρίγωνα BCM, DCN είναι ίσα καθώς έχουν ίσες τις κάθετες πλευρές τους.

Άρα οι ομόλογες πλευρές των ίσων αυτών τριγώνων σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες, δηλαδή στη συγκεριμένη περίπτωση ορθές γωνίες.

Συνεπώς , οι MC,DN κάθετες.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης