Μπαρμπαστάθεια 2019

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Μπαρμπαστάθεια 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ
το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές.
Μπαρμπαστάθεια  2019 .PNG
Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG (5.56 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές
Το AB\Gamma\Delta  είναι τετράγωνο και τα M,N τα μέσα των πλευρών AB και B\Gamma. Το E \in \Delta N ώστε ME \perp    \Delta N.

Ι) Να δείξετε ότι τα σημεία M,E , \Gamma είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Να δείξετε ότι ισχύει \Delta E=2E\Gamma=4EN.

ΙΙΙ) Αν δοθεί ότι \left ( AB\Gamma \Delta  \right )=100 cm^{2} να υπολογιστεί το \left ( \Gamma EN \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Δεκ 01, 2019 12:43 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm
Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ
το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές.
Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG
Το AB\Gamma\Delta  είναι τετράγωνο και τα M,N τα μέσα των πλευρών AB και B\Gamma. Το E \in \Delta N ώστε ME \perp    \Delta N.

Ι) Να δείξετε ότι τα σημεία M,E , \Gamma είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Να δείξετε ότι ισχύει \Delta E=2E\Gamma=4EN.

ΙΙΙ) Αν δοθεί ότι \left ( AB\Gamma \Delta  \right )=100 cm^{2} να υπολογιστεί το \left ( \Gamma EN \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο! :)

Ι) Θα δείξω ότι MC \perp DN.

Τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle MBC, \vartriangle NDC έχουν :

\bullet NC=BC/2=AB/2=MB
\bullet DC=BC

Άρα, είναι ίσα, οπότε \angle BMC=\angle DNC, οπότε \angle MCB=90^\circ-\angle BMC=90^\circ-\angle DNC \Rightarrow DN \perp MC.

Οπότε, ME \perp DN, και MC \perp DN, συνεπώς M,E,C συνευθειακά.

ΙΙ) Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle DNC έχω :

\bullet NC^2=NE \cdot ND (1)
\bullet DC^2=DE \cdot DN (2)

Διαιρώ κατά μέλη τις (1), (2) και έχω \dfrac{NE}{DE}=\dfrac{NC^2}{DC^2}=\dfrac{1}{4} \Rigtarrow DE=4EN.

Πάλι όμως από μετρικές σχέσεις, έχω CE^2=DE \cdot EN=4EN^2 \Rightarrow CE=2EN.

Τελικά, DE=2EC=4EN.

ΙΙΙ) Είναι, (NEC)=\dfrac{NE \cdot EC}{2}=\dfrac{ND \cdot EC}{10}=\dfrac{(DNC)}{5}=\dfrac{(DBC)}{10}=\dfrac{(ABCD)}{20}=5 \Rightarrow (NEC)= 5 \rm cm^2


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 01, 2019 1:41 pm

Καλό μήνα!

Νομίζω ότι οι ενδεδειγμένες λύσεις είναι του Ορέστη. Δεν υπάρχουν και πολλές επιλογές, εκτός ίσως από λίγη τριγωνομετρία στο (ΙΙ), \displaystyle \tan (N\widehat \Delta \Gamma ) = \frac{1}{2}, κλπ.

Μου κάνει εντύπωση ότι δυσκολεύτηκαν στο (Ι). Στην Α' Λυκείου στα τετράγωνα, υπάρχει μια πολύ δημοφιλής άσκηση του σχολικού, που λέει ότι τα \Gamma M, \Delta N είναι ίσα και κάθετα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 01, 2019 2:03 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm
Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ
το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές.
Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG

Το AB\Gamma\Delta  είναι τετράγωνο και τα M,N τα μέσα των πλευρών AB και B\Gamma. Το E \in \Delta N ώστε ME \perp    \Delta N.

Ι) Να δείξετε ότι τα σημεία M,E , \Gamma είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Να δείξετε ότι ισχύει \Delta E=2E\Gamma=4EN.

ΙΙΙ) Αν δοθεί ότι \left ( AB\Gamma \Delta  \right )=100 cm^{2} να υπολογιστεί το \left ( \Gamma EN \right ). Ευχαριστώ , Γιώργος.

Με MQ \bot DC τα σημεία A,M,E,Q,D είναι προφανώς ομοκυκλικά με AM=QD=QC

Από \triangle ADQ= \triangle NDC \Rightarrow AQ \bot DN \Rightarrow AQ//ME .Ακόμη AM=//QC \Rightarrow AQ//MC ,άρα M,E,C συνευθειακά

tanx= \dfrac{NC}{DC} = \dfrac{1}{2}= \dfrac{EC}{DE}= \dfrac{EN}{EC}  \Rightarrow ED=2CE=4EN

Είναι, (DNC)= \dfrac{1}{4} (ABCD)=25  και \dfrac{NE}{ED} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow  \dfrac{NE}{ND}= \dfrac{1}{5}= \dfrac{(NEC)}{(NCD)}    \Rightarrow (NEC)=5
Μπαρμπαστάθεια.png
Μπαρμπαστάθεια.png (23.77 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Δεκ 01, 2019 2:45 pm

Καλό μήνα σε όλους!

Εναλλακτική λύση για το 1ο ερώτημα (εκτός φακέλου):

Τα ορθογώνια τρίγωνα BCM, DCN είναι ίσα καθώς έχουν ίσες τις κάθετες πλευρές τους.

Άρα οι ομόλογες πλευρές των ίσων αυτών τριγώνων σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες, δηλαδή στη συγκεριμένη περίπτωση ορθές γωνίες.

Συνεπώς , οι MC,DN κάθετες.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Δεκ 09, 2019 12:33 am

Χαιρετώ.Ορέστη , Γιώργο, Μιχάλη και Κώστα σας ευχαριστώ για τις λύσεις-παρεμβάσεις σας!
Οι μαθητές-μαθήτριες που έλαβαν μέρος φοιτούν στην Γ τάξη. Βαθμολογήσαμε τα γραπτά. Επαληθεύτηκε η αρχική εκτίμηση για δυσκολία όχι μόνο στο α ερώτημα αλλά σε όλο το θέμα της Γεωμετρίας. Φαίνεται , δυστυχώς ότι η πλειονότητα των μαθητών οδηγεί προς τη..λήθη τις γνώσεις που νομίζουν πως δεν χρειάζονται πλέον για τις εξετάσεις τους.
Στον αντίποδα ευτυχώς υπάρχει το :) σιγουριάς και αισιοδοξίας μερικών -όπως καλή ώρα του Ορέστη- που είναι ότι καλύτερο!
Άλλη μια ..μακρύτερη διαδρομή για το α' ερώτημα
Μπαρμπαστάθεια  2019  ΙΙ.PNG
Μπαρμπαστάθεια 2019 ΙΙ.PNG (8.49 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Υπολογίζουμε το \left ( DMNC \right ) με δύο τρόπους. Το Π.Θ μας δίνει MC=DN=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.

Είναι \left ( DMNC \right )=\dfrac{MC\cdot DN\cdot \eta \mu \omega }{2}=\dfrac{5a^{2}\eta \mu \omega }{8} αλλά και \left ( DMNC \right )=a^{2}-a^{2}/4-a^{2}/8=\dfrac{5a^{2} }{8}.

Προκύπτει \eta \mu \omega=1 δηλ. MC \perp DN ενώ και ME \perp DN. Η κάθετη είναι μοναδική άρα M,E,C συνευθειακά. Φιλικά, Γιώργος.


kkala
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Τρί Δεκ 10, 2019 5:33 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 12:33 am
Οι μαθητές-μαθήτριες που έλαβαν μέρος φοιτούν στην Γ τάξη. Βαθμολογήσαμε τα γραπτά. Επαληθεύτηκε η αρχική εκτίμηση για δυσκολία όχι μόνο στο α ερώτημα αλλά σε όλο το θέμα της Γεωμετρίας. Φαίνεται , δυστυχώς ότι η πλειονότητα των μαθητών οδηγεί προς τη..λήθη τις γνώσεις που νομίζουν πως δεν χρειάζονται πλέον για τις εξετάσεις τους.
Νομίζω ότι η παρακμή της Γεωμετρίας οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι έπαυσε πλέον να εξετάζεται στις εισαγωγικές εξετάσεις, οπότε οι μαθητές ρίχνουν το βάρος στα εξεταζόμενα μαθήματα. Τούτο είναι κατανοητό, διότι τα ήδη εξεταζόμενα μαθήματα απαιτούν πολλή μελέτη. Λίγες μόνο είναι οι φωτεινές εξαιρέσεις.
Επιπλέον η ύλη των σχολικών εξετάσεων έχει υποβαθμιστεί. Χωρίς βέβαια ουσιαστική διδακτική πείρα, είδα με έκπληξη στην διδακτέα ύλη Α' και Β' Λυκείου (ΓΕΛ, Ενιαίου) ότι πρακτικά οι αποδείξεις θεωρημάτων μέτριας δυσκολίας (ή υψηλότερης) έχουν εξαιρεθεί, εκτός από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Υπάρχουν βέβαια αμφιβολίες αν ο μαθητής μπορεί να αφομοιώσει την απόδειξη του Πυθαγορείου (*), αν δεν έχει προηγουμένως εξοικειωθεί γενικά με τη γεωμετρική απόδειξη.
Όταν πήγαινα Λύκειο (1964-67) η διδασκαλία κάθε γεωμετρικού θεωρήματος του τότε βιβλίου περιελάμβανε και την απόδειξη, που είχε μεγαλύτερη αξία από την εκφώνησή του. Είχα ανοίξει κάποτε δελτία της ΕΜΕ του 1938-39 για μαθητές, πολλά προβλήματα Άλγεβρας ή Τριγωνομετρίας ήσαν εμπνευσμένα από τη Γεωμετρία. Σήμερα το μάθημα αυτό φαίνεται σαν να πνέει τα λοίσθια (τουλάχιστον στην Ελλάδα), περιοριζόμενο στην αποστήθιση (άντε και πρακτική εφαρμογή) κάποιων θεωρημάτων, χωρίς μάλιστα πολλή προσοχή σε τόπους και κατασκευές.
Δεν αξίζει στην (Ευκλείδεια) Γεωμετρία αυτή η κατάντια, εφόσον είναι το κατ' εξοχή μάθημα ανάπτυξης της λογικής σκέψης. Και η απόδειξη παίζει πρωτεύοντα ρόλο. Καλή θα ήταν μία προσπάθεια αναβάθμισης του μαθήματος, έστω και μόνο για την τιμή των όπλων.
Σημείωση: Ελπίδα για "αναβίωση" της γεωμετρίας έχει εκφραστεί και στην "ημερίδα" της ΕΜΕ για τον μαθηματικό Ν. Δ. Νικολάου (Νοέμβριος 2018).
(*) Ακόμα και αν η απόδειξη στηριχθεί στα όμοια τρίγωνα, η αποδείξεις των κριτηρίων ομοιότητας είναι εκτός ύλης.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης