Καθετότητα κι εγγράψιμο

#1

: Καθετότηα κι εγγράψιμο.png (9.53 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Έστω ημικύκλιο κέντρου

και διάμετρος

.

Η κάθετος στο μέσο

του

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

,

Προεκτείνω τη διάμετρο

προς το

κατά τμήμα CP = OC

.

Η διάμεσος

του $\vartriangle AMP$ τέμνει το ημικύκλιο στο

.

Έστω ακόμα

το μέσο του

. Δείξετε ότι :

1. $ME \bot AN$

2. Το τετράπλευρο MEKP

είναι εγγράψιμο.

Δεκτή κάθε λύση ..

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 19, 2019 10:02 pm
Καθετότηα κι εγγράψιμο.png

Έστω ημικύκλιο κέντρου και διάμετρος .

Η κάθετος στο μέσο του τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο ,

Προεκτείνω τη διάμετρο προς το κατά τμήμα .

Η διάμεσος του $\vartriangle AMP$ τέμνει το ημικύκλιο στο .

Έστω ακόμα το μέσο του . Δείξετε ότι :

1. $ME \bot AN$

2. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Δεκτή κάθε λύση ..

: Καθετότητα και εγγράψιμο.png (25.26 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

$\displaystyle NE \cdot NA = NC \cdot NB = \frac{R}{4} \cdot \frac{{9R}}{4} = {\left( {\frac{{3R}}{2}} \right)^2} = N{M^2},$ άρα $\boxed{ME \bot AN}$

Το

είναι ισόπλευρο και με Π. Θ στο AMP

βρίσκω $AP=R\sqrt 3,$ οπότε $O\widehat AP=90^\circ.$

$\displaystyle C\widehat KN = K\widehat PN = 30^\circ = P\widehat BA = C\widehat EN \Rightarrow C\widehat EK = 90^\circ ,$ απ' όπου $M\widehat EK=150^\circ$ και το ζητούμενο έπεται.

Καθετότητα κι εγγράψιμο

Καθετότητα κι εγγράψιμο

Re: Καθετότητα κι εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση