Καθετότητα κι εγγράψιμο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Καθετότητα κι εγγράψιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 19, 2019 10:02 pm

Καθετότηα κι εγγράψιμο.png
Καθετότηα κι εγγράψιμο.png (9.53 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές
Έστω ημικύκλιο κέντρου O και διάμετρος BC.

Η κάθετος στο μέσο M του OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο A,

Προεκτείνω τη διάμετρο BC προς το C κατά τμήμα CP = OC.

Η διάμεσος AN του \vartriangle AMP τέμνει το ημικύκλιο στο E.

Έστω ακόμα K το μέσο του AP. Δείξετε ότι :

1. ME \bot AN

2. Το τετράπλευρο MEKP είναι εγγράψιμο.

Δεκτή κάθε λύση ..



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα κι εγγράψιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 20, 2019 9:25 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Σεπ 19, 2019 10:02 pm
Καθετότηα κι εγγράψιμο.png

Έστω ημικύκλιο κέντρου O και διάμετρος BC.

Η κάθετος στο μέσο M του OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο A,

Προεκτείνω τη διάμετρο BC προς το C κατά τμήμα CP = OC.

Η διάμεσος AN του \vartriangle AMP τέμνει το ημικύκλιο στο E.

Έστω ακόμα K το μέσο του AP. Δείξετε ότι :

1. ME \bot AN

2. Το τετράπλευρο MEKP είναι εγγράψιμο.

Δεκτή κάθε λύση ..
Καθετότητα και εγγράψιμο.png
Καθετότητα και εγγράψιμο.png (25.26 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
1) \displaystyle NE \cdot NA = NC \cdot NB = \frac{R}{4} \cdot \frac{{9R}}{4} = {\left( {\frac{{3R}}{2}} \right)^2} = N{M^2}, άρα \boxed{ME \bot AN}

2) Το AOC είναι ισόπλευρο και με Π. Θ στο AMP βρίσκω AP=R\sqrt 3, οπότε O\widehat AP=90^\circ.

\displaystyle C\widehat KN = K\widehat PN = 30^\circ  = P\widehat BA = C\widehat EN \Rightarrow C\widehat EK = 90^\circ , απ' όπου M\widehat EK=150^\circ και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες