mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 17, 2019 9:02 pm**

: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 1237 φορές

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

. Έστω

το μέσο του

.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το

, να τέμνει τη πλευρά

στο

, την προέκταση της

στο

και να είναι : (ABC) = (AKM) + (MCL)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 18, 2019 12:22 am**

Καλημέρα!

: Ισόπλευρο ..Ν.Φ.PNG (6.09 KiB) Προβλήθηκε 1205 φορές

Το

είναι χρυσή τομή για το

. Aς το δείξουμε:

Η σχέση που δίνεται ισοδυναμεί με την $\left ( BKMC \right )=\left (MCL \right )..(1)$ . Έστω BK=x

ενώ

.Το

ισαπέχει από τις AB,BC

.

Έτσι $(1) \Leftrightarrow \left ( x+a \right )h=CL\cdot h\Leftrightarrow CL=a+x$ .

Το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ABC

με διατέμνουσα την KML

μας δίνει $\dfrac{BK}{KA}\cdot \dfrac{AM}{MC}\cdot \dfrac{CL}{LB}=1\Leftrightarrow \dfrac{BK}{KA}=\dfrac{LB}{CL}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{a-x}=\dfrac{2a+x}{a+x}\Leftrightarrow ..a^{2}-ax-x^{2}=0$ .Συνεπώς $\dfrac{AB}{BK}=\dfrac{a}{x}= \Phi$ .

Με γνωστή τη θέση των K,M

ορίζεται βεβαίως η ευθεία KML

. Φιλικά Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 18, 2019 2:07 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 17, 2019 9:02 pm
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο . Έστω το μέσο του .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τη πλευρά

στο , την προέκταση της στο και να είναι : .

Καλό μεσημέρι!

Φέρνω KN||MB

και εύκολα έχω BN=x=BK

και με νόμο συνημιτόνων $KN=x\sqrt 3.$

Είναι ακόμα (NMC)=(KMCB)=(MCL),

άρα

είναι μέσο του

και

: Ισόπλευρο και δύο τρίγωνα.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 1163 φορές

$\displaystyle \frac{{LB}}{{LC}} = \frac{{BM}}{{KN}} \Leftrightarrow \frac{{2a + x}}{{2(a + x)}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2x\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \frac{a}{\Phi } \Leftrightarrow CL = a\left( {1 + \frac{1}{\Phi }} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{CL = a\Phi }$

Η κατασκευή είναι πλέον απλή.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 18, 2019 3:39 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 17, 2019 9:02 pm
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο . Έστω το μέσο του .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τη πλευρά

στο , την προέκταση της στο και να είναι : .

Εστω $MT//AB,BJ\perp KML,CP\perp KML$ ,

$CL=x,AB=\alpha ,$ ,
Τότε $(AKM)+(MCL)=(ABC)\Leftrightarrow (KBL)=2(MCL),(1), (1)\Rightarrow \dfrac{BJ}{CP}=2.\dfrac{ML} {KL},(2) , \dfrac{BJ}{CP}=\dfrac{x+\alpha }{x},\dfrac{x+a}{x}=2\frac{ML}{KL},(3), MT//AB\Rightarrow \dfrac{ML} {KL}=\dfrac{2x+a}{2(x+a)},(4), (3),(4)\Rightarrow x^{2}-ax-a^{2}=0\Rightarrow x=a.\Phi$

mathematica.gr

Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

Re: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

Re: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

Re: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα