Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6778
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 17, 2019 9:02 pm

Ισόπλευρο  ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC . Έστω M το μέσο του AC.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το M, να τέμνει τη πλευρά AB

στο K, την προέκταση της BC στο L και να είναι : (ABC) = (AKM) + (MCL).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1104
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Σεπ 18, 2019 12:22 am

Καλημέρα!
Ισόπλευρο ..Ν.Φ.PNG
Ισόπλευρο ..Ν.Φ.PNG (6.09 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
Το K είναι χρυσή τομή για το AB. Aς το δείξουμε:

Η σχέση που δίνεται ισοδυναμεί με την \left ( BKMC \right )=\left (MCL  \right )..(1). Έστω BK=x ενώ AB=a.Το M ισαπέχει από τις AB,BC .

Έτσι (1) \Leftrightarrow \left ( x+a \right )h=CL\cdot h\Leftrightarrow CL=a+x.

Το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ABC με διατέμνουσα την KML μας δίνει \dfrac{BK}{KA}\cdot \dfrac{AM}{MC}\cdot \dfrac{CL}{LB}=1\Leftrightarrow \dfrac{BK}{KA}=\dfrac{LB}{CL}

\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a-x}=\dfrac{2a+x}{a+x}\Leftrightarrow ..a^{2}-ax-x^{2}=0 .Συνεπώς \dfrac{AB}{BK}=\dfrac{a}{x}= \Phi .

Με γνωστή τη θέση των K,M ορίζεται βεβαίως η ευθεία KML. Φιλικά Γιώργος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8497
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 18, 2019 2:07 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Σεπ 17, 2019 9:02 pm
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC . Έστω M το μέσο του AC.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το M, να τέμνει τη πλευρά AB

στο K, την προέκταση της BC στο L και να είναι : (ABC) = (AKM) + (MCL).
Καλό μεσημέρι!

Φέρνω KN||MB και εύκολα έχω BN=x=BK και με νόμο συνημιτόνων KN=x\sqrt 3.

Είναι ακόμα (NMC)=(KMCB)=(MCL), άρα C είναι μέσο του NL και CL=a+x.
Ισόπλευρο και δύο τρίγωνα.png
Ισόπλευρο και δύο τρίγωνα.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
\displaystyle \frac{{LB}}{{LC}} = \frac{{BM}}{{KN}} \Leftrightarrow \frac{{2a + x}}{{2(a + x)}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2x\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \frac{a}{\Phi } \Leftrightarrow CL = a\left( {1 + \frac{1}{\Phi }} \right) \Leftrightarrow \boxed{CL = a\Phi }

Η κατασκευή είναι πλέον απλή.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισόπλευρο ισοδύναμο με δ'υο τρίγωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Σεπ 18, 2019 3:39 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Σεπ 17, 2019 9:02 pm
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δύο τρίγωνα.png

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC . Έστω M το μέσο του AC.

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το M, να τέμνει τη πλευρά AB

στο K, την προέκταση της BC στο L και να είναι : (ABC) = (AKM) + (MCL).
Εστω MT//AB,BJ\perp KML,CP\perp KML,

CL=x,AB=\alpha ,,
Τότε (AKM)+(MCL)=(ABC)\Leftrightarrow (KBL)=2(MCL),(1),

 (1)\Rightarrow \dfrac{BJ}{CP}=2.\dfrac{ML}  {KL},(2)


  , \dfrac{BJ}{CP}=\dfrac{x+\alpha }{x},\dfrac{x+a}{x}=2\frac{ML}{KL},(3), MT//AB\Rightarrow 

       

     \dfrac{ML} {KL}=\dfrac{2x+a}{2(x+a)},(4), (3),(4)\Rightarrow x^{2}-ax-a^{2}=0\Rightarrow x=a.\Phi
Συνημμένα
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δυο τρίγωνα.png
Ισόπλευρο ισοδύναμο με δυο τρίγωνα.png (59.85 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης