Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1058
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Σεπ 15, 2019 10:48 am

Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG (4.53 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές
Στο σχήμα είναι \widehat{AOB}=90^{0} και 3OB=2OA . Το E \in AB ώστε 3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right ).

Να βρεθεί η \widehat{OEB}. Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. :) ..Γεωμετρικές !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 369
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Σεπ 15, 2019 12:35 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 10:48 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι \widehat{AOB}=90^{0} και 3OB=2OA . Το E \in AB ώστε 3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right ).

Να βρεθεί η \widehat{OEB}. Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. :) ..Γεωμετρικές !
Έστω OB=2x,OA=3x και πως η κάθετη από το E στην AB τέμνει την AO στο D.
3\left ( BOE \right )=10\left ( AOE \right )\Leftrightarrow \left ( AOE \right )=\dfrac{3}{13}\left ( ABO \right )\Leftrightarrow AE=\dfrac{3\sqrt{13}x}{13}
Όμως
\overset{\Delta }{ADE}\sim \overset{\Delta }{ABO}\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{OA}{AB}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{3\sqrt{13}x}{13}}{AD}=\dfrac{3x}{\sqrt{13}x}\Leftrightarrow AD=x\Leftrightarrow OD=OB=2x\Leftrightarrow \angle OEB=\angle ODB=45^{\circ} αφού το ODEB είναι εγγράψιμο.
133.PNG
133.PNG (14.58 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 16, 2019 12:33 pm

Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png
Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Ας είναι OT το ύψος προς την υποτείνουσα.

Επειδή ο λόγος των εμβαδών ισοϋψών τριγώνων ισούται με το λόγο των βάσεων

αν AE = 10t\,\,,t > 0 , θα είναι EB = 3t\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 13t.

Όμως \dfrac{{AT}}{{TB}} = \dfrac{{O{A^2}}}{{O{B^2}}} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AT}}{{AB}} = \dfrac{4}{{13}}}\,\,\,(1) .

Έτσι : AT = 4t\,\,,\,\,TE = 6t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = OT = \sqrt {4t \cdot 9t}  = 6t = TE και άρα \boxed{\omega  = 45^\circ }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Σεπ 17, 2019 6:02 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 10:48 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι \widehat{AOB}=90^{0} και 3OB=2OA . Το E \in AB ώστε 3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right ).

Να βρεθεί η \widehat{OEB}. Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. :) ..Γεωμετρικές !

Στο σχήμα που ακολουθεί είναι, OC=2OA ,OD=3OB άρα το τρίγωνο OCD είναι ορθογώνιο-ισοσκελές

Με BK \| CD \Rightarrow OB=OK \Rightarrow κι επειδή OA= \dfrac{2}{3} OB \Rightarrow AK= \dfrac{1}{3} OA

Ακόμη, \dfrac{AE}{EB} = \dfrac{ \big(AOE\big) }{ \big(OEB\big) }= \dfrac{3}{10} \Rightarrow AE= \dfrac{3}{13}AB

AK . AO= \frac{1}{3} AO^2 και AE. AB= \frac{3}{13} AB^2 . Αλλά AB^2= \frac{9}{13}OA^2  άρα

AE. AB= AK . AO \Rightarrow KEBO εγγράψιμο  \Rightarrow  \angle OEB= \angle OKB=45^0
Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png
Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png (7.23 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1058
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Σεπ 17, 2019 11:24 pm

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Πρόδρομο,Νίκο και Μιχάλη για τις υπέροχες λύσεις τους!
Μια ακόμη με την μεσολάβηση παλαιότερου θέματος.
Γωνία γνωστή...PNG
Γωνία γνωστή...PNG (4.7 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
Φέρω EF \perp OB , το FINO είναι τετράγωνο και οι NI,AB τέμνονται στο P.

Όπως γράφηκε είναι BE=10 AB/13 άρα EF=10 OA/13.

Ακόμη ON=OF=3OB/13=2OA/13 , AN=15OA/13 και NP=2AN/3=10 OA/13 .

Προκύπτει NP=EF οπότε σύμφωνα με το Κριτήριο 45άρας είναι \widehat{OEB}=45^{0}. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες